MathGreeceMathGreece

Ε.1 Το λεξιλόγιο της Λογικής

Μάθημα Ε.1 Το λεξιλόγιο της Λογικής της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, στην ενότητα «Εισαγωγικό κεφάλαιο». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Το λεξιλόγιο της Λογικής

Συνεπαγωγή ή ισοδυναμία;

Ποιο σύμβολο πρέπει να μπει ανάμεσα στις προτάσεις |x| < 6 ⬚ −6 < x < 6 ώστε να ισχύει (το «ισχυρότερο» σωστό);
  1. ⇔
  2. ⇒
  3. ⇐
  4. κανένα
Υποδείξεις
  • Έλεγξε χωριστά: ισχύει η αριστερή ⇒ δεξιά; Ισχύει η δεξιά ⇒ αριστερή;
  • Ένα αντιπαράδειγμα αρκεί για να «σπάσει» μια συνεπαγωγή.
Λύση και απάντηση
  1. Η σωστή σύνδεση είναι ⇔.
  2. Ισχύουν και οι δύο κατευθύνσεις.

Απάντηση: ⇔

Άρνηση πρότασης

Ποια είναι η άρνηση της πρότασης «x > 2 και y ≤ 3»;
  1. x ≤ 2 ή y > 3
  2. x ≤ 2 και y > 3
  3. x < 2 ή y > 3
  4. x ≤ 2 ή y ≥ 3
Υποδείξεις
  • Άρνηση του «και» είναι «ή» (και αντίστροφα), αρνούμενοι κάθε σκέλος.
  • Άρνηση του «για κάθε» είναι «υπάρχει» (και αντίστροφα).
Λύση και απάντηση
  1. Άρνηση: «x ≤ 2 ή y > 3».

Απάντηση: x ≤ 2 ή y > 3

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Συνεπαγωγή ή ισοδυναμία; · Άρνηση πρότασης.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η συνεπαγωγή «Αν P τότε Q» γράφεται:

    • P ⇒ Q
    • P ⇔ Q
    • P ∪ Q
    • Q ⇒ P
    Δες την απάντηση

    Σωστό: P ⇒ Q. Το βέλος ⇒ διαβάζεται «συνεπάγεται».

  2. Η ισοδυναμία P ⇔ Q σημαίνει:

    • P ή Q μόνο
    • P ⇒ Q και Q ⇒ P
    • Μόνο P ⇒ Q
    • Μόνο Q ⇒ P
    Δες την απάντηση

    Σωστό: P ⇒ Q και Q ⇒ P. Ισοδυναμία είναι η διπλή συνεπαγωγή.

  3. Ποιος ισχυρισμός είναι σωστός για κάθε πραγματικό α;

    • α² < 0
    • α² = α
    • α² > 0
    • α² ≥ 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: α² ≥ 0. Το τετράγωνο ενός πραγματικού δεν είναι αρνητικό.

  4. Η άρνηση του ισχυρισμού «x > 3» είναι:

    • x < 3
    • x = 3
    • x > −3
    • x ≤ 3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x ≤ 3. Αν δεν είναι μεγαλύτερο του 3, τότε είναι μικρότερο ή ίσο.

  5. Ο ισχυρισμός «P ή Q» είναι ψευδής μόνο όταν:

    • Και οι δύο είναι αληθείς
    • Και οι δύο είναι ψευδείς
    • Ο P είναι αληθής
    • Ο ένας είναι ψευδής
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Και οι δύο είναι ψευδείς. Το «ή» αληθεύει αν αληθεύει τουλάχιστον ένας.

  6. Ο ισχυρισμός «P και Q» είναι αληθής όταν:

    • Ένας είναι ψευδής
    • Και οι δύο είναι αληθείς
    • Και οι δύο είναι ψευδείς
    • Τουλάχιστον ένας είναι αληθής
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Και οι δύο είναι αληθείς. Το «και» απαιτεί αλήθεια και των δύο.

  7. Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός «για κάθε x ισχύει …» είναι ψευδής, αρκεί:

    • Ένα αντιπαράδειγμα
    • Να αποδείξουμε το αντίστροφο
    • Να τον ξαναδιατυπώσουμε
    • Πολλά παραδείγματα που ισχύουν
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Ένα αντιπαράδειγμα. Ένα αντιπαράδειγμα καταρρίπτει καθολικό ισχυρισμό.

  8. Η μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο βασίζεται:

    • Σε αριθμητικά παραδείγματα
    • Στη γραφική παράσταση
    • Στη μέθοδο των δύο ισοδυνάμων
    • Στο ότι η άρνηση του ζητούμενου οδηγεί σε αντίφαση
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Στο ότι η άρνηση του ζητούμενου οδηγεί σε αντίφαση. Υποθέτουμε το αντίθετο και καταλήγουμε σε άτοπο.

  9. Ποια πρόταση είναι αληθής για x ∈ ℝ: x² = 4 ⇔ …

    • x = 2
    • x = 2 ή x = −2
    • x = 4
    • x = −2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 2 ή x = −2. Το τετράγωνο ισούται με 4 για δύο τιμές.

  10. Ο ισχυρισμός «αβ = 0 ⇒ α = 0 ή β = 0» σημαίνει:

    • Αν α = 0, τότε β = 0
    • Αν γινόμενο μηδέν, τότε ένας παράγοντας είναι μηδέν
    • Πάντα και τα δύο είναι 0
    • Το άθροισμα είναι 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Αν γινόμενο μηδέν, τότε ένας παράγοντας είναι μηδέν. Βασική ιδιότητα των πραγματικών αριθμών.

Σωστό ή Λάθος

  1. Η άρνηση της «όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί» είναι «όλοι οι αριθμοί είναι αρνητικοί».

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η άρνηση είναι «υπάρχει αριθμός που δεν είναι θετικός».

  2. Η συνεπαγωγή «αν x > 2 τότε x > 1» είναι αληθής.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Κάθε αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι μεγαλύτερος του 1.

  3. Η ισοδυναμία x2 = 9 ⇔ x = 3 είναι αληθής.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Από x2 = 9 μπορεί και x = −3.

  4. Η πρόταση «x = 0 ή y = 0» είναι ισοδύναμη με «xy = 0».

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Γινόμενο μηδέν ⇔ κάποιος παράγοντας μηδέν.

  5. Η άρνηση της «x > 3 και y < 2» είναι «x ≤ 3 και y ≥ 2».

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η άρνηση του «και» είναι «ή»: x ≤ 3 ή y ≥ 2.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Εισαγωγικό κεφάλαιο»