MathGreeceMathGreece

1.1 Γραμμικά συστήματα

Μάθημα 1.1 Γραμμικά συστήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Συστήματα». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Γραμμικά συστήματα

Σύστημα 2×2 με ορίζουσες

Για το σύστημα x − 5y = 4, 4x − 3y = −1 βρες τις ορίζουσες D, Dx, Dy και τη λύση.
Υποδείξεις
  • D = αδ − βγ με τους συντελεστές των αγνώστων. Στη Dx βάζεις τους σταθερούς όρους στη στήλη του x, στη Dy στη στήλη του y.
  • x = DxD, y = DyD.
Λύση και απάντηση
  1. D = 1·(−3) − (−5)·4 = 17.
  2. Dx = 4·(−3) − (−5)·(−1) = −17.
  3. Dy = 1·(−1) − 4·4 = −17.
  4. x = −1717 = −1, y = −1717 = −1.

Απάντηση: D = 17  ·  Dx = −17  ·  Dy = −17  ·  x = −1  ·  y = −1

Παράμετρος: αδύνατο ή αόριστο σύστημα

Δίνεται το σύστημα λx + 5y = 4, 5x + λy = 4. Για ποια τιμή του λ το σύστημα είναι αόριστο (άπειρες λύσεις);
Υποδείξεις
  • D = λ² − 25. Για λ ≠ ±5 έχει μοναδική λύση.
  • Για λ = 5 και λ = −5 κοίτα τι γίνονται οι εξισώσεις.
Λύση και απάντηση
  1. D = 0 ⇔ λ = ±5.
  2. λ = 5: οι δύο εξισώσεις ταυτίζονται (5x + 5y = 4) ⇒ αόριστο.
  3. λ = −5: −5x + 5y = 4 και 5x − 5y = 4 ⇒ αντιφατικές ⇒ αδύνατο.
  4. Ζητούμενο: λ = 5.

Απάντηση: 5

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Σύστημα 2×2 με ορίζουσες · Παράμετρος: αδύνατο ή αόριστο σύστημα · Σύστημα 3×3.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Το σύστημα x + y = 5, x − y = 1 έχει λύση:

    • (1, 4)
    • (2, 3)
    • (3, 2)
    • (4, 1)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: (3, 2). Προσθέτοντας κατά μέλη: 2x = 6, άρα x = 3 και y = 2.

  2. Η ορίζουσα D του συστήματος αx + βy = γ, α′x + β′y = γ′ είναι:

    • αα′ − ββ′
    • αβ′ + α′β
    • αβ′ − α′β
    • γβ′ − γ′β
    Δες την απάντηση

    Σωστό: αβ′ − α′β. D = αβ′ − α′β (χιαστί γινόμενα των συντελεστών των αγνώστων).

  3. Αν η ορίζουσα D ενός γραμμικού συστήματος 2×2 είναι D ≠ 0, τότε το σύστημα:

    • έχει άπειρες λύσεις
    • έχει ακριβώς δύο λύσεις
    • έχει μοναδική λύση
    • είναι αδύνατο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: έχει μοναδική λύση. Με D ≠ 0 η λύση είναι μοναδική: x = Dx/D, y = Dy/D.

  4. Όταν D ≠ 0, η μοναδική λύση του συστήματος είναι:

    • x = D/Dx, y = D/Dy
    • x = Dx/D, y = Dy/D
    • x = Dx·D, y = Dy·D
    • x = Dy/D, y = Dx/D
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = Dx/D, y = Dy/D. Τύποι του Cramer: x = Dx/D και y = Dy/D.

  5. Η ορίζουσα του συστήματος 2x + 3y = 1, 4x + 6y = 5 είναι:

    • 0
    • 12
    • 24
    • −24
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. D = 2·6 − 4·3 = 12 − 12 = 0.

  6. Το σύστημα 2x + 3y = 1, 4x + 6y = 5 είναι:

    • αδύνατο
    • με άπειρες λύσεις
    • με λύση το (0, 0)
    • με μοναδική λύση
    Δες την απάντηση

    Σωστό: αδύνατο. Διπλασιάζοντας την 1η παίρνουμε 4x + 6y = 2, που αντιφάσκει με το 4x + 6y = 5.

  7. Γεωμετρικά, ένα σύστημα 2×2 με άπειρες λύσεις σημαίνει ότι οι δύο ευθείες:

    • είναι κάθετες
    • είναι παράλληλες
    • τέμνονται σε ένα σημείο
    • ταυτίζονται
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ταυτίζονται. Άπειρα κοινά σημεία έχουν μόνο δύο ευθείες που ταυτίζονται.

  8. Η ορίζουσα με γραμμές (3, 2) και (1, 4) ισούται με:

    • 10
    • 11
    • 14
    • −10
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 10. 3·4 − 2·1 = 12 − 2 = 10.

  9. Για ποιες τιμές του λ το σύστημα λx + y = 1, x + λy = 1 έχει μοναδική λύση;

    • για κάθε λ
    • λ ≠ 1 και λ ≠ −1
    • μόνο για λ = 1
    • μόνο για λ = −1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: λ ≠ 1 και λ ≠ −1. D = λ² − 1, που είναι διάφορη του μηδενός όταν λ ≠ ±1.

  10. Για λ = 1 το σύστημα λx + y = 1, x + λy = 1:

    • έχει άπειρες λύσεις
    • έχει λύση μόνο το (1, 1)
    • έχει μοναδική λύση
    • είναι αδύνατο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: έχει άπειρες λύσεις. Και οι δύο εξισώσεις γίνονται x + y = 1, άρα άπειρες λύσεις.

Σωστό ή Λάθος

  1. Αν D = 0, το γραμμικό σύστημα 2×2 είναι αδύνατο.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Μπορεί να είναι και αόριστο.

  2. Αν D ≠ 0, το σύστημα έχει τη μοναδική λύση x = DxD, y = DyD.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Κανόνας Cramer.

  3. Αν D = Dx = Dy = 0, το σύστημα είναι οπωσδήποτε αόριστο.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Το 0x + 0y = 1, 0x + 0y = 2 έχει όλες τις ορίζουσες 0 και είναι αδύνατο.

  4. Γεωμετρικά, ένα αδύνατο σύστημα 2×2 αντιστοιχεί σε δύο παράλληλες (διακριτές) ευθείες.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Δεν έχουν κοινό σημείο.

  5. Ένα γραμμικό σύστημα 3×3 μπορεί να έχει ακριβώς 2 λύσεις.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Έχει μία, καμία ή άπειρες λύσεις.

  6. Το σύστημα λx + y = 1, x + λy = 1 έχει μοναδική λύση για λ ≠ ±1.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. D = λ2 − 1.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Συστήματα»