1.2 Μη γραμμικά συστήματα

Μάθημα 1.2 Μη γραμμικά συστήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Συστήματα». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Μη γραμμικά συστήματα

Άθροισμα τετραγώνων από άθροισμα και γινόμενο

Αν x + y = 3 και xy = −10, να βρείτε το x² + y².

Υποδείξεις

(x + y)² = x² + 2xy + y².

Λύση και απάντηση

x² + y² = (x + y)² − 2xy = 9 − (−20) = 29.

Απάντηση: 29

Τομή παραβολής και ευθείας

Να λύσετε το σύστημα y = x² + x − 3, y = −2x + 1. Γράψε τις τιμές του x.

Υποδείξεις

Εξίσωσε τα δεύτερα μέλη.

Λύση και απάντηση

x² + 3x − 4 = 0 ⇒ x = −4 ή x = 1.
Αντίστοιχα y = 9 και y = −1.

Απάντηση: −4 ή 1

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Άθροισμα τετραγώνων από άθροισμα και γινόμενο · Τομή παραβολής και ευθείας · Πλήθος λύσεων κύκλου–ευθείας.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Το σύστημα x + y = 5, xy = 6 έχει λύσεις:
- (1, 6) και (6, 1)
- (2, 3) και (3, 2)
- (−2, −3) και (−3, −2)
- μόνο (2, 3)
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, 3) και (3, 2). Τα x, y είναι ρίζες της t² − 5t + 6 = 0, δηλαδή 2 και 3.
Αν x + y = S και xy = P, τότε τα x, y είναι ρίζες της εξίσωσης:
- t² + Pt − S = 0
- t² + St + P = 0
- t² − Pt + S = 0
- t² − St + P = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: t² − St + P = 0. Από τους τύπους του Vieta: άθροισμα ριζών S, γινόμενο P.
Λύνοντας το σύστημα y = x², y = 2 − x βρίσκουμε για το x:
- x = 1 ή x = 2
- x = 1 ή x = −2
- x = 2 ή x = −1
- x = −1 ή x = −2
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 1 ή x = −2. x² = 2 − x ⇔ x² + x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ή x = −2.
Τα κοινά σημεία της ευθείας y = x και του κύκλου x² + y² = 2 είναι:
- (1, 1) και (−1, −1)
- (1, −1) και (−1, 1)
- (√2, √2) και (−√2, −√2)
- μόνο το (1, 1)
Δες την απάντηση
Σωστό: (1, 1) και (−1, −1). Θέτοντας y = x: 2x² = 2, άρα x = ±1 και y = x.
Το σύστημα x² + y² = 1, y = 2:
- έχει άπειρες λύσεις
- έχει δύο λύσεις
- έχει μία λύση
- είναι αδύνατο
Δες την απάντηση
Σωστό: είναι αδύνατο. Θα έπρεπε x² = 1 − 4 = −3, που είναι αδύνατο.
Η ευθεία y = 1 και ο κύκλος x² + y² = 1 έχουν:
- άπειρα κοινά σημεία
- ένα κοινό σημείο
- δύο κοινά σημεία
- κανένα κοινό σημείο
Δες την απάντηση
Σωστό: ένα κοινό σημείο. x² = 0, άρα μόνο το (0, 1): η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο.
Το σύστημα x² − y² = 8, x − y = 2 έχει λύση:
- (1, 3)
- (3, 1)
- (4, 2)
- (5, 3)
Δες την απάντηση
Σωστό: (3, 1). x² − y² = (x − y)(x + y) = 8, άρα x + y = 4 και με x − y = 2 βρίσκουμε (3, 1).
Το σύστημα xy = 4, x = y με x > 0 έχει λύση:
- (1, 4)
- (2, 2)
- (4, 1)
- (−2, −2)
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, 2). x² = 4 με x > 0, άρα x = y = 2.
Πόσες λύσεις έχει το σύστημα y = x², y = −1;
- άπειρες
- δύο
- καμία
- μία
Δες την απάντηση
Σωστό: καμία. x² = −1 είναι αδύνατη στους πραγματικούς.
Αν x + y = 7 και xy = 12, τότε x² + y² ισούται με:
- 24
- 25
- 37
- 49
Δες την απάντηση
Σωστό: 25. x² + y² = (x + y)² − 2xy = 49 − 24 = 25.

Σωστό ή Λάθος

Ένα μη γραμμικό σύστημα δεν μπορεί να έχει ακριβώς 3 λύσεις.
Δες την απάντηση
Λάθος. Π.χ. y = x³ και y = x έχουν κοινά τα (−1, −1), (0, 0), (1, 1).
Το σύστημα x² + y² = 25, x + y = 7 έχει λύσεις τις (3, 4) και (4, 3).
Δες την απάντηση
Σωστό. Επαληθεύονται και οι δύο εξισώσεις.
Το σύστημα xy = 6, x + y = 5 έχει μόνο τη λύση (2, 3).
Δες την απάντηση
Λάθος. Και την (3, 2).
Η ευθεία y = 2 και η παραβολή y = x² έχουν δύο κοινά σημεία.
Δες την απάντηση
Σωστό. x = ±√2.
Ο κύκλος x² + y² = 1 και η ευθεία y = 1 έχουν δύο κοινά σημεία.
Δες την απάντηση
Λάθος. Έχουν ένα: το (0, 1). Η ευθεία εφάπτεται.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Συστήματα»

1.1 Γραμμικά συστήματα