2.1 Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες
Μάθημα 2.1 Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ιδιότητες συναρτήσεων». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.
Λυμένες ασκήσεις: Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες
Παράμετρος ώστε η συνάρτηση να είναι περιττή
Υποδείξεις
- Περιττή ⇔ f(−x) = −f(x) για κάθε x.
- Οι άρτιες δυνάμεις πρέπει να «φύγουν».
Λύση και απάντηση
- f(−x) = −x³ + (λ + 2)x² + 1x.
- Για να ισούται με −f(x) πρέπει (λ + 2) = 0 ⇒ λ = −2.
Απάντηση: −2
Ανίσωση με τη βοήθεια μονοτονίας
Υποδείξεις
- Φθίνουσα: f(u) > f(v) ⇔ u < v (αλλάζει η φορά!).
Λύση και απάντηση
- x² < 5x ⇔ x2 − 5x < 0.
- Ρίζες 0, 5 ⇒ x ∈ (0, 5).
Απάντηση: α = 0 · β = 5
Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Παράμετρος ώστε η συνάρτηση να είναι περιττή · Ανίσωση με τη βοήθεια μονοτονίας · Ελάχιστη τιμή χωρίς παραγώγους.
Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις
Η f είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για κάθε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχύει:
- f(x₁) < f(x₂)
- f(x₁) = f(x₂)
- f(x₁) > f(x₂)
- f(x₁) ≥ f(x₂)
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x₁) < f(x₂). Μεγαλύτερο x δίνει μεγαλύτερη τιμή.
Η f(x) = x² είναι γνησίως φθίνουσα στο:
- (−∞, 0]
- [0, +∞)
- [−1, 1]
- ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: (−∞, 0]. Η παραβολή y = x² κατεβαίνει αριστερά από το 0 και ανεβαίνει δεξιά.
Μια συνάρτηση f λέγεται άρτια όταν για κάθε x του πεδίου ορισμού (με −x επίσης στο πεδίο) ισχύει:
- f(x) = 0
- f(−x) = 1/f(x)
- f(−x) = f(x)
- f(−x) = −f(x)
Δες την απάντηση
Σωστό: f(−x) = f(x). Άρτια: οι τιμές στο x και στο −x είναι ίσες.
Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς:
- την αρχή των αξόνων
- την ευθεία y = x
- τον άξονα x′x
- τον άξονα y′y
Δες την απάντηση
Σωστό: τον άξονα y′y. Αφού f(−x) = f(x), τα σημεία (x, y) και (−x, y) ανήκουν στη γραφική παράσταση.
Η συνάρτηση f(x) = x³ είναι:
- άρτια
- και άρτια και περιττή
- ούτε άρτια ούτε περιττή
- περιττή
Δες την απάντηση
Σωστό: περιττή. (−x)³ = −x³, άρα f(−x) = −f(x).
Η f(x) = x² + 1 έχει:
- ελάχιστο 0 στο x = 0
- ελάχιστο 1 στο x = 0
- ελάχιστο 1 στο x = 1
- μέγιστο 1 στο x = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: ελάχιστο 1 στο x = 0. x² ≥ 0, άρα x² + 1 ≥ 1 με ισότητα για x = 0.
Η f(x) = −(x − 2)² + 3 έχει:
- ελάχιστο 3 στο x = 2
- μέγιστο 2 στο x = 3
- μέγιστο 3 στο x = 2
- μέγιστο 3 στο x = −2
Δες την απάντηση
Σωστό: μέγιστο 3 στο x = 2. −(x − 2)² ≤ 0, άρα f(x) ≤ 3 με ισότητα για x = 2.
Η f(x) = |x| είναι:
- άρτια
- γνησίως αύξουσα στο ℝ
- γνησίως φθίνουσα στο ℝ
- περιττή
Δες την απάντηση
Σωστό: άρτια. |−x| = |x|.
Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς:
- την αρχή των αξόνων
- την ευθεία y = x
- τον άξονα x′x
- τον άξονα y′y
Δες την απάντηση
Σωστό: την αρχή των αξόνων. Αφού f(−x) = −f(x), τα (x, y) και (−x, −y) ανήκουν στη γραφική παράσταση.
Η f(x) = 1/x είναι:
- γνησίως αύξουσα στο ℝ*
- γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα (−∞, 0) και (0, +∞)
- γνησίως φθίνουσα σε όλο το ℝ*
- σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα (−∞, 0) και (0, +∞). Φθίνει χωριστά σε κάθε διάστημα, όχι στην ένωσή τους: π.χ. −1 < 1 αλλά f(−1) = −1 < f(1) = 1.
Σωστό ή Λάθος
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α και στο Β, τότε είναι γνησίως αύξουσα και στο Α ∪ Β.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η −1x είναι αύξουσα στο (−∞, 0) και στο (0, +∞), αλλά όχι στην ένωση.
Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η −f είναι γνησίως αύξουσα.
Δες την απάντηση
Σωστό. Η αλλαγή προσήμου αντιστρέφει τη μονοτονία.
Μια περιττή συνάρτηση διέρχεται πάντα από την αρχή των αξόνων.
Δες την απάντηση
Λάθος. Μόνο αν ορίζεται στο 0. Η 1x είναι περιττή και δεν ορίζεται στο 0.
Η f(x) = x4 + x2 είναι άρτια.
Δες την απάντηση
Σωστό. f(−x) = f(x).
Αν η f έχει μέγιστο, τότε έχει και ελάχιστο.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η −x2 έχει μέγιστο 0, αλλά όχι ελάχιστο.
Το γινόμενο δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.
Δες την απάντηση
Σωστό. (−f)(−g) = fg.
Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.