2.2 Κατακόρυφη – Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης
Μάθημα 2.2 Κατακόρυφη – Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ιδιότητες συναρτήσεων». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.
Λυμένες ασκήσεις: Κατακόρυφη – Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης
Μετατοπισμένη απόλυτη τιμή: τομές με x′x
Υποδείξεις
- Η κορυφή του «V» είναι στο (−4, −2).
- g(x) = 0 ⇔ |x + 4| = 2.
Λύση και απάντηση
- |x + 4| = 2 ⇔ x + 4 = ±2.
- x = −6 ή x = −2.
Απάντηση: −2 ή −6
Κορυφή μετά από μετατοπίσεις
Υποδείξεις
- Αρχική κορυφή: (2, 2).
- Οριζόντια μετατόπιση αλλάζει το x, κατακόρυφη το y.
Λύση και απάντηση
- Νέα κορυφή: (2 − 2, 2 + 3) = (0, 5).
Απάντηση: x = 0 · y = 5
Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Μετατοπισμένη απόλυτη τιμή: τομές με x′x · Κορυφή μετά από μετατοπίσεις.
Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις
Η γραφική παράσταση της g(x) = f(x) + 3 προκύπτει από της f με μετατόπιση:
- 3 μονάδες αριστερά
- 3 μονάδες δεξιά
- 3 μονάδες προς τα κάτω
- 3 μονάδες προς τα πάνω
Δες την απάντηση
Σωστό: 3 μονάδες προς τα πάνω. Προσθήκη σταθεράς στην τιμή μετακινεί κατακόρυφα.
Η γραφική παράσταση της g(x) = f(x − 2) προκύπτει από της f με μετατόπιση:
- 2 μονάδες αριστερά
- 2 μονάδες δεξιά
- 2 μονάδες κάτω
- 2 μονάδες πάνω
Δες την απάντηση
Σωστό: 2 μονάδες δεξιά. Το x − 2 μετατοπίζει οριζόντια κατά 2 προς τα δεξιά.
Η g(x) = f(x + 1) − 4 προκύπτει από την f με μετατόπιση:
- 1 αριστερά και 4 κάτω
- 1 αριστερά και 4 πάνω
- 1 δεξιά και 4 κάτω
- 4 αριστερά και 1 κάτω
Δες την απάντηση
Σωστό: 1 αριστερά και 4 κάτω. x + 1: 1 αριστερά, −4: 4 κάτω.
Η παραβολή y = (x − 3)² έχει κορυφή το σημείο:
- (0, 3)
- (0, −3)
- (3, 0)
- (−3, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: (3, 0). Είναι η y = x² μετατοπισμένη 3 μονάδες δεξιά.
Η παραβολή y = x² + 5 έχει κορυφή το σημείο:
- (0, 5)
- (0, −5)
- (5, 0)
- (−5, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: (0, 5). Είναι η y = x² μετατοπισμένη 5 μονάδες πάνω.
Η y = |x + 2| προκύπτει από την y = |x| με μετατόπιση:
- 2 μονάδες αριστερά
- 2 μονάδες δεξιά
- 2 μονάδες κάτω
- 2 μονάδες πάνω
Δες την απάντηση
Σωστό: 2 μονάδες αριστερά. x + 2: οριζόντια μετατόπιση κατά 2 αριστερά.
Η συνάρτηση y = (x − 1)² + 2 έχει ελάχιστη τιμή:
- 0
- 1
- 2
- −1
Δες την απάντηση
Σωστό: 2. (x − 1)² ≥ 0, άρα y ≥ 2, με ισότητα για x = 1.
Αν η f έχει ελάχιστο στο x = 0, τότε η g(x) = f(x − 4) έχει ελάχιστο στο:
- x = 0
- x = 1/4
- x = 4
- x = −4
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 4. Η γραφική παράσταση μετακινείται 4 μονάδες δεξιά, μαζί και το ελάχιστο.
Η γραφική παράσταση της y = 1/(x − 2) προκύπτει από της y = 1/x με μετατόπιση:
- 2 μονάδες αριστερά
- 2 μονάδες δεξιά
- 2 μονάδες κάτω
- 2 μονάδες πάνω
Δες την απάντηση
Σωστό: 2 μονάδες δεξιά. Η y = f(x − 2) είναι η f μετατοπισμένη 2 μονάδες δεξιά.
Η y = 3x² − 6x + 5 γράφεται:
- 3(x + 1)² + 2
- 3(x − 1)² + 2
- 3(x − 1)² + 5
- 3(x − 2)² + 1
Δες την απάντηση
Σωστό: 3(x − 1)² + 2. 3(x − 1)² + 2 = 3x² − 6x + 3 + 2 = 3x² − 6x + 5.
Σωστό ή Λάθος
Η y = f(x − 3) προκύπτει από την y = f(x) με μετατόπιση 3 μονάδες αριστερά.
Δες την απάντηση
Λάθος. Μετατοπίζεται 3 μονάδες δεξιά.
Η y = f(x) + 2 προκύπτει από την y = f(x) με μετατόπιση 2 μονάδες πάνω.
Δες την απάντηση
Σωστό. Κάθε τιμή αυξάνεται κατά 2.
Η y = (x + 1)2 − 4 έχει κορυφή το (1, −4).
Δες την απάντηση
Λάθος. Η κορυφή είναι (−1, −4).
Οι μετατοπίσεις διατηρούν το σχήμα της καμπύλης.
Δες την απάντηση
Σωστό. Η καμπύλη απλώς «σύρεται».
Η y = |x| − 2 και η y = |x − 2| έχουν την ίδια γραφική παράσταση.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η πρώτη είναι κατακόρυφη μετατόπιση προς τα κάτω, η δεύτερη οριζόντια μετατόπιση δεξιά.
Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.