MathGreeceMathGreece

3.2 Η εξίσωση xν = α

Μάθημα 3.2 Η εξίσωση xν = α της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, στην ενότητα «Εξισώσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Η εξίσωση xν = α

Εξίσωση που ανάγεται σε xⁿ = α

Να λύσετε την εξίσωση x6 + 19x³ − 216 = 0.
Υποδείξεις
  • Θέσε y = x³.
  • y² + 19y − 216 = 0.
Λύση και απάντηση
  1. y = 8 ή y = −27.
  2. x³ = 8 ⇒ x = 2, x³ = −27 ⇒ x = −3 (περιττός εκθέτης: μία λύση).

Απάντηση: 2  ή  −3

Εξίσωση με δύναμη και μετασχηματισμό

Να λύσετε την εξίσωση 2(x − 2)5 + 486 = 0.
Υποδείξεις
  • Γράψε (x − 2)5 = −243.
  • Περιττός εκθέτης: μία λύση (και για αρνητικό αριθμό).
Λύση και απάντηση
  1. (x − 2)5 = −243.
  2. x − 2 = −3.
  3. x = −1.

Απάντηση: −1

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Εξίσωση που ανάγεται σε xⁿ = α · Εξίσωση με δύναμη και μετασχηματισμό.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η εξίσωση x³ = 8 έχει λύση:

    • x = 2
    • x = 4
    • x = 8
    • x = ±2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 2. Για περιττό ν υπάρχει μία λύση: ³√8.

  2. Η εξίσωση x² = 9 έχει λύσεις:

    • x = 3
    • x = 3 ή x = −3
    • x = 9
    • x = −3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 3 ή x = −3. Για άρτιο ν και α > 0 υπάρχουν δύο λύσεις.

  3. Η εξίσωση x⁴ = −16 είναι:

    • Έχει λύσεις ±2
    • Έχει λύση x = 2
    • Έχει λύση x = −2
    • Αδύνατη
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Αδύνατη. Άρτια δύναμη δεν είναι αρνητική.

  4. Η εξίσωση x³ = −27 έχει λύση:

    • x = 3
    • x = ±3
    • x = −3
    • Είναι αδύνατη
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = −3. Περιττός εκθέτης: ³√(−27) = −3.

  5. Η εξίσωση x⁵ = 0 έχει λύση:

    • x = 0
    • x = 5
    • x = ±1
    • Αδύνατη
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 0. Μοναδική λύση x = 0.

  6. Για ν άρτιο και α > 0, η xν = α έχει:

    • Άπειρες λύσεις
    • Δύο λύσεις
    • Καμία λύση
    • Μία λύση
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Δύο λύσεις. x = ± ν-ιοστή ρίζα του α.

  7. Για ν περιττό, η xν = α έχει:

    • Άπειρες λύσεις
    • Ακριβώς μία λύση
    • Δύο λύσεις
    • Καμία λύση
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Ακριβώς μία λύση. x = ν-ιοστή ρίζα του α.

  8. Η εξίσωση x⁴ = 81 έχει λύσεις:

    • x = 3
    • x = 81
    • x = ±3
    • x = ±9
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = ±3. Επειδή 3⁴ = 81 και (−3)⁴ = 81, οι λύσεις είναι ±3.

  9. Η εξίσωση (x − 1)³ = 8 έχει λύση:

    • x = 2
    • x = 3
    • x = 9
    • x = −1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 3. x − 1 = 2.

  10. Η εξίσωση x² = 0 έχει λύση:

    • x = 0 (διπλή)
    • x = ±1
    • Άπειρες
    • Καμία
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 0 (διπλή). Μοναδική λύση το μηδέν.

Σωστό ή Λάθος

  1. Η x4 = 81 έχει μοναδική λύση x = 3.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. x = ±3.

  2. Η x5 = −32 έχει μοναδική λύση x = −2.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Περιττός εκθέτης.

  3. Η x2 = −9 έχει λύσεις x = ±3i στο ℝ.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Στο ℝ είναι αδύνατη.

  4. Η x6 = 0 έχει μοναδική λύση x = 0.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Ειδική περίπτωση.

  5. Η x3 = 8 έχει λύσεις x = ±2.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Μόνο x = 2: (−2)3 = −8.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Εξισώσεις»