3.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού

Μάθημα 3.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, στην ενότητα «Εξισώσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Εξισώσεις 2ου βαθμού

Εξίσωση 2ου βαθμού με παράμετρο: ρίζα γνωστή

Η εξίσωση x² + λx + 3 = 0 έχει ρίζα το 1. Να βρείτε το λ και την άλλη ρίζα.

Υποδείξεις

Αφού το 1 είναι ρίζα, την επαληθεύει.
Ή με Vieta: x₁x₂ = 3.

Λύση και απάντηση

x₁x₂ = 3 ⇒ x₂ = 3/1 = 3.
λ = −(x₁ + x₂) = −4.

Απάντηση: λ = −4 · άλλη ρίζα = 3

Διπλή ρίζα με παράμετρο

Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση x² + λx + 25 = 0 έχει διπλή ρίζα.

Υποδείξεις

Διπλή ρίζα ⇔ Δ = 0.
Δ = λ² − 4·1·25.

Λύση και απάντηση

λ² = 100 ⇒ λ = ±10.

Απάντηση: 10 ή −10

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Εξίσωση 2ου βαθμού με παράμετρο: ρίζα γνωστή · Διπλή ρίζα με παράμετρο · Παράσταση των ριζών (Vieta).

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η διακρίνουσα της αx² + βx + γ = 0 είναι:
- Δ = 4αγ
- Δ = α² − 4βγ
- Δ = β² + 4αγ
- Δ = β² − 4αγ
Δες την απάντηση
Σωστό: Δ = β² − 4αγ. Βασικός τύπος.
Αν Δ > 0, η εξίσωση έχει:
- Άπειρες ρίζες
- Δύο άνισες πραγματικές ρίζες
- Καμία πραγματική ρίζα
- Μία διπλή ρίζα
Δες την απάντηση
Σωστό: Δύο άνισες πραγματικές ρίζες. Δύο διαφορετικές ρίζες.
Αν Δ < 0, η εξίσωση έχει:
- Άπειρες
- Δύο ρίζες
- Καμία πραγματική ρίζα
- Μία ρίζα
Δες την απάντηση
Σωστό: Καμία πραγματική ρίζα. Δεν υπάρχει √Δ.
Οι ρίζες της x² − 5x + 6 = 0 είναι:
- 1 και 6
- 2 και 3
- 5 και 6
- −2 και −3
Δες την απάντηση
Σωστό: 2 και 3. Δ = 1, x = (5 ± 1)/2.
Το άθροισμα των ριζών S = x₁ + x₂ είναι:
- βα
- γα
- −βα
- −γα
Δες την απάντηση
Σωστό: −βα. Τύποι Vieta.
Το γινόμενο των ριζών P = x₁ · x₂ είναι:
- βα
- γα
- −βα
- −γα
Δες την απάντηση
Σωστό: γα. Τύποι Vieta.
Η εξίσωση x² − 4x + 4 = 0 έχει:
- Δύο ρίζες
- Καμία ρίζα
- Μία διπλή ρίζα x = 2
- Ρίζες ±2
Δες την απάντηση
Σωστό: Μία διπλή ρίζα x = 2. (x − 2)² = 0.
Η εξίσωση με ρίζες 2 και 5 είναι:
- x² + 7x + 10 = 0
- x² − 10x + 7 = 0
- x² − 3x + 10 = 0
- x² − 7x + 10 = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: x² − 7x + 10 = 0. x² − Sx + P = 0, με S = 7, P = 10.
Αν x₁ + x₂ = 6 και x₁x₂ = 8, οι ρίζες είναι:
- 1 και 8
- 2 και 4
- 3 και 3
- −2 και −4
Δες την απάντηση
Σωστό: 2 και 4. 2 + 4 = 6, 2 · 4 = 8.
Για ποια τιμή του λ η x² − 4x + λ = 0 έχει διπλή ρίζα;
- λ = 16
- λ = 2
- λ = 4
- λ = −4
Δες την απάντηση
Σωστό: λ = 4. Δ = 16 − 4λ = 0.

Σωστό ή Λάθος

Αν Δ < 0, η εξίσωση αx² + βx + γ = 0 έχει δύο αντίθετες ρίζες.
Δες την απάντηση
Λάθος. Δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Αν οι ρίζες είναι x₁, x₂, τότε αx² + βx + γ = α(x − x₁)(x − x₂).
Δες την απάντηση
Σωστό. Παραγοντοποίηση τριωνύμου.
Οι ρίζες της x² − 7x + 10 = 0 έχουν άθροισμα −7.
Δες την απάντηση
Λάθος. S = −βα = 7.
Αν η εξίσωση έχει ρίζα το 0, τότε γ = 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. Βάζουμε x = 0.
Η εξίσωση x² + x + 1 = 0 έχει δύο ρίζες με γινόμενο 1.
Δες την απάντηση
Λάθος. Δ = −3 < 0, άρα δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Αν α + β + γ = 0 (α ≠ 0), τότε το 1 είναι ρίζα της αx² + βx + γ = 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. α · 1 + β · 1 + γ = 0.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου στο YouTube.