MathGreeceMathGreece

4.2 Ανισώσεις 2ου βαθμού

Μάθημα 4.2 Ανισώσεις 2ου βαθμού της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ανισώσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Ανισώσεις 2ου βαθμού

Διπλή ανίσωση 2ου βαθμού

Πόσους ακεραίους ικανοποιεί η ανίσωση x2 − 4x < 0 και πόσους η x2 − 4x ≤ 0;
Υποδείξεις
  • Βρες τις ρίζες: το τριώνυμο είναι αρνητικό ανάμεσά τους.
  • Με «≤» προσθέτεις και τις ρίζες.
Λύση και απάντηση
  1. Ρίζες: 0, 4.
  2. < 0: ακέραιοι στο (0, 4): 3.
  3. ≤ 0: 5.

Απάντηση: με < 3  ·  με ≤ 5

Τριώνυμο θετικό για κάθε x

Για ποιες τιμές του λ ισχύει x² + λx + 9 > 0 για κάθε x ∈ ℝ; Η απάντηση είναι διάστημα (α, β).
Υποδείξεις
  • Τριώνυμο με α > 0 είναι θετικό για κάθε x ⇔ Δ < 0.
Λύση και απάντηση
  1. Δ = λ² − 36 < 0 ⇔ −6 < λ < 6.

Απάντηση: α = −6  ·  β = 6

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Διπλή ανίσωση 2ου βαθμού · Τριώνυμο θετικό για κάθε x.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Το τριώνυμο αx² + βx + γ με Δ < 0 έχει πρόσημο:

    • Αντίθετο του α
    • Εναλλασσόμενο
    • Μηδέν
    • Το πρόσημο του α για κάθε x
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Το πρόσημο του α για κάθε x. Δεν έχει ρίζες.

  2. Αν Δ > 0, το τριώνυμο είναι ετερόσημο του α:

    • Έξω από τις ρίζες
    • Ανάμεσα στις ρίζες
    • Παντού
    • Πουθενά
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Ανάμεσα στις ρίζες. Ανάμεσα στις ρίζες έχει αντίθετο πρόσημο.

  3. Η λύση της x² − 4 < 0 είναι:

    • x < 2
    • x < −2 ή x > 2
    • x > −2
    • −2 < x < 2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −2 < x < 2. Το τριώνυμο είναι αρνητικό ανάμεσα στις ρίζες ±2.

  4. Η λύση της x² − 4 > 0 είναι:

    • x < −2
    • x < −2 ή x > 2
    • x > 2
    • −2 < x < 2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x < −2 ή x > 2. Θετικό έξω από τις ρίζες.

  5. Η λύση της x² − 5x + 6 ≤ 0 είναι:

    • 2 < x < 3
    • 2 ≤ x ≤ 3
    • x ≤ 2 ή x ≥ 3
    • x ≥ 3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2 ≤ x ≤ 3. Ανάμεσα στις ρίζες 2 και 3 με τις ρίζες.

  6. Η x² + 1 > 0 αληθεύει:

    • Για κάθε x
    • Για κανένα
    • Μόνο για x = 0
    • Μόνο για x > 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Για κάθε x. Δ < 0 και α > 0.

  7. Η (x − 2)² ≤ 0 αληθεύει:

    • Για x > 2
    • Για κάθε x
    • Για κανένα
    • Μόνο για x = 2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Μόνο για x = 2. Το τετράγωνο είναι ≥ 0 και μηδέν στο 2.

  8. Η λύση της −x² + 4 > 0 είναι:

    • x < 2
    • x < −2 ή x > 2
    • x > 2
    • −2 < x < 2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −2 < x < 2. Ισοδύναμη με x² < 4.

  9. Η x² − 6x + 9 ≥ 0 αληθεύει:

    • Για x > 3
    • Για κάθε x
    • Για κανένα
    • Μόνο για x = 3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Για κάθε x. (x − 3)² ≥ 0.

  10. Η λύση της x² − x − 2 > 0 είναι:

    • x < −1
    • x < −1 ή x > 2
    • x > 2
    • −1 < x < 2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x < −1 ή x > 2. Ρίζες −1 και 2, θετικό έξω.

Σωστό ή Λάθος

  1. Αν Δ < 0, το τριώνυμο είναι πάντα θετικό.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι πάντα ομόσημο του α· αν α < 0 είναι πάντα αρνητικό.

  2. Το τριώνυμο είναι ετερόσημο του α ανάμεσα στις ρίζες του.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Κανόνας προσήμου.

  3. Η ανίσωση x2 ≥ 0 είναι αδύνατη.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Αληθεύει για κάθε x.

  4. Η ανίσωση x2 − 4x + 4 ≤ 0 έχει μοναδική λύση x = 2.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. (x − 2)2 ≤ 0 ⇔ x = 2.

  5. Η ανίσωση −x2 + 1 > 0 έχει λύσεις x < −1 ή x > 1.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Λύσεις −1 < x < 1.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Ανισώσεις»