7.3 Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx² + βx + γ

Μάθημα 7.3 Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx² + βx + γ της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, στην ενότητα «Μελέτη βασικών συναρτήσεων». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx² + βx + γ

Παραβολή από τρία σημεία

Η παραβολή y = αx² + βx + γ διέρχεται από τα σημεία (0, −6), (1, −1) και (−1, −7). Να βρείτε α, β, γ.

Υποδείξεις

Από το (0, …): γ = −6.
Από τα άλλα δύο: α + β = 5 και α − β = −1.

Λύση και απάντηση

γ = −6, α = 2, β = 3.

Απάντηση: α = 2 · β = 3 · γ = −6

Μέγιστο εμβαδόν με σταθερή περίμετρο

Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 40 m, ποιο έχει το μέγιστο εμβαδόν; Δώσε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού.

Υποδείξεις

Αν x το μήκος, το πλάτος είναι 20 − x.
Ε(x) = x(20 − x): τριώνυμο με μέγιστο στην κορυφή.

Λύση και απάντηση

Μέγιστο για x = 10 (τετράγωνο).
Ε_max = 100 m².

Απάντηση: 100 m²

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Παραβολή από τρία σημεία · Μέγιστο εμβαδόν με σταθερή περίμετρο.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η κορυφή της παραβολής y = αx² + βx + γ έχει τετμημένη:
- β2α
- γα
- −β2α
- −β
Δες την απάντηση
Σωστό: −β2α. Τύπος κορυφής.
Η τεταγμένη της κορυφής είναι:
- Δ4α
- γα
- −Δ4α
- −β2α
Δες την απάντηση
Σωστό: −Δ4α. Δηλαδή f(−β/2α).
Η παραβολή y = x² − 4x + 3 έχει κορυφή:
- (2, 1)
- (2, −1)
- (4, 3)
- (−2, −1)
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, −1). x = 2, y = 4 − 8 + 3 = −1.
Ο άξονας συμμετρίας της y = x² − 6x + 5 είναι:
- x = 3
- x = 6
- x = −3
- y = 3
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 3. −(−6)/2 = 3.
Αν α > 0, η ελάχιστη τιμή της f είναι:
- 0
- Δ4α
- γ
- −Δ4α
Δες την απάντηση
Σωστό: −Δ4α. Τεταγμένη κορυφής.
Η f(x) = −x² + 2x + 3 έχει μέγιστο:
- 2
- 3
- 4
- −4
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. Κορυφή (1, 4).
Η ελάχιστη τιμή της f(x) = x² − 2x + 5 είναι:
- 1
- 4
- 5
- −4
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. Κορυφή (1, 4).
Η y = x² − 4 τέμνει τον x'x στα:
- (0, 4)
- (0, −4)
- (2, 0) και (−2, 0)
- (4, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, 0) και (−2, 0). Για y = 0: x² = 4, άρα x = ±2.
Η y = αx² + βx + γ τέμνει τον y'y στο:
- (0, α)
- (0, β)
- (0, γ)
- (γ, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: (0, γ). Για x = 0 είναι f(0) = γ.
Αν Δ < 0 και α > 0, η παραβολή:
- Βρίσκεται κάτω από τον x'x
- Βρίσκεται πάνω από τον x'x
- Εφάπτεται στον x'x
- Τέμνει τον x'x σε 2 σημεία
Δες την απάντηση
Σωστό: Βρίσκεται πάνω από τον x'x. Δεν έχει ρίζες και ανοίγει προς τα πάνω.

Σωστό ή Λάθος

Η y = x² − 4x + 3 έχει κορυφή το (−2, −1).
Δες την απάντηση
Λάθος. x_κ = 42 = 2: κορυφή (2, −1).
Αν α > 0, η y = αx² + βx + γ έχει ελάχιστο στην κορυφή.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ανοίγει προς τα πάνω.
Η παραβολή y = x² + 1 τέμνει τον x′x σε δύο σημεία.
Δες την απάντηση
Λάθος. Δ < 0: δεν τον τέμνει.
Ο άξονας συμμετρίας της y = αx² + βx + γ είναι η ευθεία x = −β2α.
Δες την απάντηση
Σωστό. Διέρχεται από την κορυφή.
Η y = −x² + 2x είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.
Δες την απάντηση
Λάθος. Αυξάνει μέχρι το x = 1 και μετά μειώνεται.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου στο YouTube.