5.3 Λογαριθμική συνάρτηση

Μάθημα 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Λογαριθμική συνάρτηση

Λογαριθμική εξίσωση με αντικατάσταση

Να λύσετε την εξίσωση (log x)² + 3log x + 2 = 0.

Υποδείξεις

Θέσε y = log x (x > 0).
Λύσε τη δευτεροβάθμια ως προς y και μετά x = 10^y.

Λύση και απάντηση

y² + 3y + 2 = 0 ⇒ y = −2 ή y = −1.
x = 10⁻² = 0,01 ή x = 10⁻¹ = 0,1.

Απάντηση: 0,01 ή 0,1

Λογαριθμική εξίσωση με πεδίο ορισμού

Να λύσετε την εξίσωση log x + log(x − 2) = log 3.

Υποδείξεις

Πεδίο ορισμού: x > 2.
log x + log(x − 2) = log[x(x − 2)].

Λύση και απάντηση

x(x − 2) = 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0.
Ρίζες: 3 και −1.
Η −1 απορρίπτεται (εκτός πεδίου). x = 3.

Απάντηση: 3

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Λογαριθμική εξίσωση με αντικατάσταση · Λογαριθμική εξίσωση με πεδίο ορισμού · Λογαριθμική ανίσωση.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η f(x) = lnx έχει πεδίο ορισμού:
- (0, +∞)
- [0, +∞)
- ℝ
- ℝ*
Δες την απάντηση
Σωστό: (0, +∞). Ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για θετικούς αριθμούς.
Η f(x) = lnx είναι:
- άρτια
- γνησίως αύξουσα
- γνησίως φθίνουσα
- σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: γνησίως αύξουσα. Η βάση e είναι μεγαλύτερη του 1.
Η logₐx με 0 < α < 1 είναι:
- γνησίως αύξουσα
- γνησίως φθίνουσα
- περιττή
- σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: γνησίως φθίνουσα. Για βάση μικρότερη του 1 ο λογάριθμος φθίνει.
Η γραφική παράσταση της logₐx διέρχεται από το σημείο:
- (0, 0)
- (0, 1)
- (1, 0)
- (α, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: (1, 0). logₐ1 = 0.
Οι γραφικές παραστάσεις των αˣ και logₐx είναι συμμετρικές ως προς:
- την αρχή των αξόνων
- την ευθεία y = x
- τον άξονα x′x
- τον άξονα y′y
Δες την απάντηση
Σωστό: την ευθεία y = x. Είναι αντίστροφες συναρτήσεις.
Η εξίσωση lnx = 0 έχει λύση:
- x = 0
- x = 1
- x = e
- είναι αδύνατη
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 1. lnx = 0 ⇔ x = e⁰ = 1.
Η εξίσωση log(x − 1) = 1 έχει λύση:
- x = 10
- x = 11
- x = 2
- x = 9
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 11. x − 1 = 10¹ = 10.
Η ανίσωση lnx < 0 αληθεύει για:
- 0 < x < 1
- x < 0
- x < 1
- x > 1
Δες την απάντηση
Σωστό: 0 < x < 1. lnx < ln1 και x > 0.
Το πεδίο ορισμού της f(x) = ln(x − 3) είναι:
- (3, +∞)
- (−∞, 3)
- [3, +∞)
- ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: (3, +∞). Πρέπει x − 3 > 0.
Η ισότητα ln(x²) = 2lnx ισχύει για:
- x < 0
- x > 0
- κάθε x ∈ ℝ
- κάθε x ≠ 0
Δες την απάντηση
Σωστό: x > 0. Το lnx ορίζεται μόνο για x > 0· για x < 0 ισχύει ln(x²) = 2ln|x|.

Σωστό ή Λάθος

Η ln x είναι γνησίως φθίνουσα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι γνησίως αύξουσα (βάση e > 1).
Η εξίσωση ln x = −5 έχει λύση.
Δες την απάντηση
Σωστό. x = e⁻⁵ > 0.
Η log(x − 3) ορίζεται για x ≥ 3.
Δες την απάντηση
Λάθος. Για x > 3 (ο λογάριθμος του 0 δεν ορίζεται).
Αν 0 < x < 1, τότε ln x < 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. Η ln είναι αύξουσα και ln 1 = 0.
ln x < ln y ⇔ x > y (για x, y > 0).
Δες την απάντηση
Λάθος. ⇔ x < y, αφού η ln είναι αύξουσα.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.