MathGreeceMathGreece

4.2 Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ με α ≠ 0

Μάθημα 4.2 Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ με α ≠ 0 της Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, στην ενότητα «Συναρτήσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 4 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ με α ≠ 0

Βολή μπάλας: μέγιστο ύψος

Το ύψος μιας μπάλας (σε m) t δευτερόλεπτα μετά τη ρίψη της είναι h(t) = −5t² + 10t. Να βρείτε το μέγιστο ύψος και τη χρονική στιγμή που η μπάλα πέφτει στο έδαφος.
Υποδείξεις
  • Μέγιστο στην κορυφή: t = −β/(2α).
  • Στο έδαφος: h(t) = 0, t > 0.
Λύση και απάντηση
  1. tκ = 10/10 = 1 s, hmax = 5 m.
  2. −5t² + 10t = 0 ⇒ t = 2 s.

Απάντηση: hmax = 5  ·  t = 2

Τομές παραβολής με τους άξονες

Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής y = x2 − 9 με τους άξονες: τις τετμημένες x₁ < x₂ και την τεταγμένη y₀ (τομή με y′y).
Υποδείξεις
  • Με x′x: y = 0. Με y′y: x = 0.
Λύση και απάντηση
  1. x₁ = −3, x₂ = 3, y₀ = −9.

Απάντηση: x₁ = −3  ·  x₂ = 3  ·  y₀ = −9

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Βολή μπάλας: μέγιστο ύψος · Τομές παραβολής με τους άξονες.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η τετμημένη της κορυφής της y = αx² + βx + γ είναι:

    • x = β2α
    • x = γα
    • x = −β2α
    • x = −β
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = −β2α. Ο τύπος της κορυφής.

  2. Η κορυφή της y = x² − 4x + 3 έχει τετμημένη:

    • 2
    • 3
    • 4
    • −2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2. −(−4)/2 = 2.

  3. Η τεταγμένη της κορυφής της y = x² − 4x + 3 είναι:

    • 1
    • 3
    • 7
    • −1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −1. 4 − 8 + 3 = −1.

  4. Ο άξονας συμμετρίας της y = x² − 6x + 5 είναι η ευθεία:

    • x = 3
    • x = 6
    • x = −3
    • y = 3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 3. −(−6)/2 = 3.

  5. Η παραβολή y = αx² + βx + γ τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο:

    • (0, α)
    • (0, β)
    • (0, γ)
    • (γ, 0)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: (0, γ). Για x = 0 είναι y = γ.

  6. Οι τομές της y = x² − 5x + 6 με τον άξονα x'x είναι:

    • x = 1 και x = 6
    • x = 2 και x = 3
    • x = 5
    • x = −2 και x = −3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 2 και x = 3. Λύσεις της x² − 5x + 6 = 0.

  7. Αν Δ < 0, η παραβολή:

    • Δεν τέμνει τον άξονα x'x
    • Εφάπτεται στον x'x
    • Τέμνει τον x'x σε δύο σημεία
    • Τέμνει τον y'y μόνο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Δεν τέμνει τον άξονα x'x. Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

  8. Αν Δ = 0, η παραβολή:

    • Δεν τέμνει τον x'x
    • Είναι ευθεία
    • Εφάπτεται στον άξονα x'x
    • Τέμνει τον x'x σε δύο σημεία
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Εφάπτεται στον άξονα x'x. Μία διπλή ρίζα.

  9. Η y = −x² + 4 έχει μέγιστη τιμή:

    • 0
    • 2
    • 4
    • −4
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 4. Ανοίγει προς τα κάτω και η κορυφή είναι το (0, 4).

  10. Η y = x² − 2x + 1 έχει ελάχιστη τιμή:

    • 0
    • 1
    • 2
    • −1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. (x − 1)² ≥ 0.

Σωστό ή Λάθος

  1. Η κορυφή της y = x2 − 2x + 5 είναι το (−1, 8).

    Δες την απάντηση

    Λάθος. x = 1, y = 4: κορυφή (1, 4).

  2. Η παραβολή y = αx2 + βx + γ τέμνει τον y′y στο (0, γ).

    Δες την απάντηση

    Σωστό. x = 0.

  3. Αν Δ < 0, η παραβολή τέμνει τον x′x σε δύο σημεία.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Δεν τον τέμνει.

  4. Η y = (x − 2)2 εφάπτεται στον x′x στο (2, 0).

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Δ = 0.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Συναρτήσεις»