2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών

Μάθημα 2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, στην ενότητα «Οι πραγματικοί αριθμοί». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Διάταξη πραγματικών αριθμών

Όρια παράστασης από όρια μεταβλητών

Αν 2 < x < 7 και −3 < y < 0, η παράσταση 2x + 3y βρίσκεται στο διάστημα (α, β). Να βρείτε α και β.

Υποδείξεις

Πολλαπλασίασε κάθε ανισότητα με τον κατάλληλο αριθμό (προσοχή: αρνητικός αριθμός αντιστρέφει τη φορά).
Πρόσθεσε κατά μέλη ανισότητες ίδιας φοράς· ΠΟΤΕ δεν αφαιρούμε κατά μέλη.

Λύση και απάντηση

Γράφουμε την παράσταση ως άθροισμα και προσθέτουμε κατά μέλη.
Προκύπτει −5 < 2x + 3y < 14.

Απάντηση: α = −5 · β = 14

Σύγκριση αριθμών

Να συγκρίνετε τους αριθμούς ∛3 και √2. Ποιο σύμβολο μπαίνει ανάμεσα;

Υποδείξεις

Συγκρίνε τετράγωνα (ή κατάλληλες δυνάμεις) θετικών αριθμών.
Για διαφορές ριζών χρησιμοποίησε συζυγείς.

Λύση και απάντηση

έκτες δυνάμεις: 9 και 8.
Άρα ∛3 > √2.

Απάντηση: >

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Όρια παράστασης από όρια μεταβλητών · Σύγκριση αριθμών.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η ισοδυναμία α > β ⇔ …
- α + β > 0
- α : β > 0
- α · β > 0
- α − β > 0
Δες την απάντηση
Σωστό: α − β > 0. Ορισμός της διάταξης.
Αν α > β και γ > 0, τότε:
- α + γ < β
- αγ < βγ
- αγ = βγ
- αγ > βγ
Δες την απάντηση
Σωστό: αγ > βγ. Πολλαπλασιασμός με θετικό.
Αν α > β και γ < 0, τότε:
- α < β
- αγ < βγ
- αγ = βγ
- αγ > βγ
Δες την απάντηση
Σωστό: αγ < βγ. Με αρνητικό η φορά αλλάζει.
Αν α > β και γ > δ, τότε:
- α + γ > β + δ
- α − γ > β − δ
- α/γ > β/δ πάντα
- αγ > βδ πάντα
Δες την απάντηση
Σωστό: α + γ > β + δ. Μπορούμε να προσθέτουμε ανισότητες ίδιας φοράς.
Για α, β > 0 με α < β ισχύει:
- α > β
- α² < β²
- α² = β²
- α² > β²
Δες την απάντηση
Σωστό: α² < β². Τα τετράγωνα διατηρούν τη φορά για θετικούς.
Η ανισότητα α² + β² ≥ 2αβ ισχύει επειδή:
- (α + β)² ≥ 0
- (α − β)² ≥ 0
- α ≥ β
- αβ ≥ 0
Δες την απάντηση
Σωστό: (α − β)² ≥ 0. Ισοδύναμη με (α − β)² ≥ 0.
Αν α, β > 0, η ανισότητα αριθμητικού – γεωμετρικού μέσου λέει:
- α + β2 ≤ √(αβ)
- α + β2 ≥ √(αβ)
- α + β ≤ 2
- α · β ≥ α + β
Δες την απάντηση
Σωστό: α + β2 ≥ √(αβ). Κλασική ανισότητα.
Αν x > 0, τότε x + 1x ≥
- 0
- 1
- 2
- x
Δες την απάντηση
Σωστό: 2. Από την ανισότητα μέσων.
Αν α < β < 0, τότε:
- 1α < 1β
- 1α = 1β
- 1α > 1β
- α² < β²
Δες την απάντηση
Σωστό: 1α > 1β. Για αρνητικούς, οι αντίστροφοι αλλάζουν φορά: 1/(−2) > 1/(−1).
Η απόδειξη της ανισότητας α > β μπορεί να γίνει δείχνοντας ότι:
- α + β > 0
- α − β > 0
- α² > β²
- αβ > 0
Δες την απάντηση
Σωστό: α − β > 0. Από τον ορισμό της διάταξης: α > β ⇔ α − β > 0.

Σωστό ή Λάθος

Αν α > β, τότε α² > β².
Δες την απάντηση
Λάθος. −1 > −2 αλλά 1 < 4. Ισχύει μόνο για μη αρνητικούς.
Αν α > β και γ > δ, τότε α + γ > β + δ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Πρόσθεση ομόστροφων ανισοτήτων.
Αν α > β και γ > δ, τότε α − γ > β − δ.
Δες την απάντηση
Λάθος. 5 > 4 και 10 > 1, αλλά −5 < 3. Οι ανισότητες δεν αφαιρούνται κατά μέλη.
Αν α > β > 0, τότε 1α < 1β.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ομόσημοι: αντιστρέφεται η φορά.
Για κάθε α ισχύει α² > α.
Δες την απάντηση
Λάθος. Για α = 12: 14 < 12.
α² + β² ≥ 2αβ για κάθε α, β.
Δες την απάντηση
Σωστό. (α − β)² ≥ 0.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου στο YouTube.