4.2 Διαίρεση πολυωνύμων

Μάθημα 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Πολυώνυμα – Πολυωνυμικές εξισώσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Διαίρεση πολυωνύμων

Υπόλοιπο διαίρεσης με αx − β

Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = −3x³ − x² − 2x − 5 με το 3x − 1.

Υποδείξεις

Το υπόλοιπο της διαίρεσης με 3x − 1 είναι P(13).

Λύση και απάντηση

P(13) = −539.

Απάντηση: −539

Υπόλοιπο διαίρεσης με (x − α)(x − β)

Το πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με x + 2 δίνει υπόλοιπο 0 και διαιρούμενο με x + 1 υπόλοιπο −2. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης με (x + 2)(x + 1) είναι υ(x) = κx + λ, να βρείτε κ και λ.

Υποδείξεις

P(x) = (x + 2)(x + 1)π(x) + κx + λ.
Βάλε x = −2 και x = −1.

Λύση και απάντηση

P(−2) = −2κ + λ = 0, P(−1) = −1κ + λ = −2.
Αφαιρώντας: 1κ = −2 ⇒ κ = −2, λ = −4.

Απάντηση: κ = −2 · λ = −4

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Υπόλοιπο διαίρεσης με αx − β · Υπόλοιπο διαίρεσης με (x − α)(x − β).

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η ταυτότητα της διαίρεσης Δ(x) : δ(x) είναι:
- Δ(x) = δ(x) + π(x) + υ(x)
- Δ(x) = δ(x)·π(x) + υ(x)
- Δ(x) = δ(x)·υ(x) + π(x)
- Δ(x) = π(x)/δ(x) + υ(x)
Δες την απάντηση
Σωστό: Δ(x) = δ(x)·π(x) + υ(x). Διαιρετέος = διαιρέτης × πηλίκο + υπόλοιπο.
Το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης:
- έχει βαθμό ίσο με του διαιρέτη
- έχει βαθμό ίσο με του διαιρετέου
- έχει βαθμό μεγαλύτερο από του διαιρέτη
- είναι 0 ή έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του διαιρέτη
Δες την απάντηση
Σωστό: είναι 0 ή έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του διαιρέτη. Αλλιώς η διαίρεση θα μπορούσε να συνεχιστεί.
Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x − ρ) είναι:
- 0
- P(ρ)
- P(−ρ)
- ρ
Δες την απάντηση
Σωστό: P(ρ). Θέτοντας x = ρ στην ταυτότητα της διαίρεσης.
Το x − ρ είναι παράγοντας του P(x) αν και μόνο αν:
- P(0) = ρ
- P(ρ) = 0
- P(ρ) = ρ
- P(−ρ) = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: P(ρ) = 0. Το υπόλοιπο P(ρ) πρέπει να είναι μηδέν.
Το υπόλοιπο της διαίρεσης (x³ − 2x + 5) : (x − 1) είναι:
- 0
- 2
- 4
- 5
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. P(1) = 1 − 2 + 5 = 4.
Το υπόλοιπο της διαίρεσης (x² + 3x + 1) : (x + 2) είναι:
- 0
- 1
- 11
- −1
Δες την απάντηση
Σωστό: −1. P(−2) = 4 − 6 + 1 = −1.
Για ποια τιμή του α το x − 2 είναι παράγοντας του x² + αx − 6;
- α = 1
- α = 2
- α = 3
- α = −1
Δες την απάντηση
Σωστό: α = 1. P(2) = 4 + 2α − 6 = 0, άρα α = 1.
Το σχήμα Horner χρησιμοποιείται για διαίρεση πολυωνύμου με:
- x − ρ
- x²
- x² + 1
- οποιοδήποτε πολυώνυμο
Δες την απάντηση
Σωστό: x − ρ. Το σχήμα Horner είναι για διαιρέτη της μορφής x − ρ.
Το πηλίκο της διαίρεσης (x² − 5x + 6) : (x − 2) είναι:
- x + 3
- x − 2
- x − 3
- x² − 3
Δες την απάντηση
Σωστό: x − 3. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Αν ο διαιρετέος έχει βαθμό 5 και ο διαιρέτης βαθμό 2, το πηλίκο έχει βαθμό:
- 10
- 2
- 3
- 7
Δες την απάντηση
Σωστό: 3. Βαθμός πηλίκου = 5 − 2 = 3.

Σωστό ή Λάθος

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με x + 2 είναι P(2).
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι P(−2).
Το x − ρ είναι παράγοντας του P(x) αν και μόνο αν P(ρ) = 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. Θεώρημα παράγοντα.
Το υπόλοιπο διαίρεσης με x² − 1 μπορεί να είναι 2ου βαθμού.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από 2.
Με το σχήμα Horner βρίσκουμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης με x − ρ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Γρήγορη μέθοδος.
Αν P(1) = P(−1) = 0, τότε το P(x) διαιρείται με το x² + 1.
Δες την απάντηση
Λάθος. Διαιρείται με το (x − 1)(x + 1) = x² − 1.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.