4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις
Μάθημα 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Πολυώνυμα – Πολυωνυμικές εξισώσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.
Λυμένες ασκήσεις: Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις
Πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου βαθμού
Υποδείξεις
- Ψάξε ακέραια ρίζα ανάμεσα στους διαιρέτες του σταθερού όρου (12). Μετά κάνε σχήμα Horner και λύσε το τριώνυμο.
Λύση και απάντηση
- Δοκιμάζοντας διαιρέτες του 12 βρίσκουμε ρίζα x = −4.
- Με Horner: x3 − 13x + 12 = (x + 4)(x2 − 4x + 3).
- Το τριώνυμο δίνει x = 1 και x = 3.
- Λύσεις: −4, 1, 3.
Απάντηση: −4 ή 1 ή 3
Πολυωνυμική ανίσωση: ακέραιες λύσεις
Υποδείξεις
- Βρες τις ρίζες (δοκιμή με τους διαιρέτες του σταθερού όρου).
- Πίνακας προσήμων: το P(x) ≤ 0 στο (−∞, −4] ∪ [3, 8].
Λύση και απάντηση
- Ρίζες: −4, 3, 8.
- Λύσεις: (−∞, −4] ∪ [3, 8].
- Μετράμε τους ακεραίους ≥ 0 που ανήκουν στις λύσεις.
Απάντηση: 6
Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου βαθμού · Πολυωνυμική ανίσωση: ακέραιες λύσεις · Διτετράγωνη εξίσωση.
Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις
Μια ακέραια ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές είναι διαιρέτης:
- του αθροίσματος των συντελεστών
- του βαθμού
- του μεγιστοβάθμιου συντελεστή
- του σταθερού όρου
Δες την απάντηση
Σωστό: του σταθερού όρου. Θεώρημα ακέραιων ριζών.
Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της x³ − 2x² − x + 2 = 0 είναι:
- 0 και ±2
- ±1, ±2
- ±1, ±3
- μόνο 1 και 2
Δες την απάντηση
Σωστό: ±1, ±2. Διαιρέτες του σταθερού όρου 2.
Οι ρίζες της x³ − 2x² − x + 2 = 0 είναι:
- 0, 1, 2
- 1, 2, 3
- 1, −1, 2
- −1, −2, 1
Δες την απάντηση
Σωστό: 1, −1, 2. x²(x − 2) − (x − 2) = (x − 2)(x² − 1).
Οι ρίζες της x³ − x = 0 είναι:
- 0 και 1
- 0, 1, −1
- 1 και −1
- μόνο 0
Δες την απάντηση
Σωστό: 0, 1, −1. x(x − 1)(x + 1) = 0.
Η εξίσωση x³ = 8 έχει πραγματική ρίζα:
- 2
- 4
- 8
- ±2
Δες την απάντηση
Σωστό: 2. Ο μόνος πραγματικός αριθμός με κύβο 8 είναι το 2.
Μια πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν έχει:
- ακριβώς ν + 1 ρίζες
- το πολύ 2ν ρίζες
- το πολύ ν πραγματικές ρίζες
- το πολύ ν − 1 ρίζες
Δες την απάντηση
Σωστό: το πολύ ν πραγματικές ρίζες. Βασική ιδιότητα πολυωνύμων.
Η ανίσωση (x − 1)(x − 3) < 0 αληθεύει για:
- 1 < x < 3
- x < 1
- x < 1 ή x > 3
- x > 3
Δες την απάντηση
Σωστό: 1 < x < 3. Το γινόμενο είναι αρνητικό ανάμεσα στις ρίζες.
Η ανίσωση x³ − 4x > 0 αληθεύει για:
- x < −2 ή 0 < x < 2
- x > 2
- −2 < x < 0 ή x > 2
- −2 < x < 2
Δες την απάντηση
Σωστό: −2 < x < 0 ή x > 2. x(x − 2)(x + 2) > 0: πίνακας προσήμων με ρίζες −2, 0, 2.
Οι ρίζες της x⁴ − 5x² + 4 = 0 είναι:
- 1 και 2
- 1 και 4
- ±1, ±2
- ±1, ±4
Δες την απάντηση
Σωστό: ±1, ±2. Με y = x²: y² − 5y + 4 = 0, y = 1 ή 4.
Πόσες ακέραιες ρίζες έχει η x³ + x + 1 = 0;
- καμία
- μόνο το 1
- μόνο το −1
- το 1 και το −1
Δες την απάντηση
Σωστό: καμία. Οι υποψήφιες είναι ±1, αλλά P(1) = 3 και P(−1) = −1.
Σωστό ή Λάθος
Κάθε πολυωνυμική εξίσωση 4ου βαθμού έχει 4 πραγματικές ρίζες.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η x4 + 1 = 0 δεν έχει καμία.
Οι ακέραιες ρίζες πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές είναι διαιρέτες του σταθερού όρου.
Δες την απάντηση
Σωστό. Θεώρημα ακεραίων ριζών (για ρίζες ≠ 0).
Η ανίσωση (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 0 έχει λύσεις x > 3.
Δες την απάντηση
Λάθος. Και 1 < x < 2.
Ένα πολυώνυμο αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν μιας απλής ρίζας του.
Δες την απάντηση
Σωστό. Γι’ αυτό φτιάχνουμε πίνακα προσήμων.
Εκατέρωθεν μιας διπλής ρίζας το πολυώνυμο αλλάζει πρόσημο.
Δες την απάντηση
Λάθος. Δεν αλλάζει: π.χ. το (x − 1)2 είναι μη αρνητικό.
Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.