4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Μάθημα 4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Πολυώνυμα – Πολυωνυμικές εξισώσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Ρητή εξίσωση με περιορισμούς

Να λύσετε την εξίσωση x² − 10x − 4 = x − 2.

Υποδείξεις

Περιορισμός: x ≠ 4.
Πολλαπλασίασε με x − 4: καταλήγεις σε γραμμική εξίσωση.

Λύση και απάντηση

x² − 10 = (x − 4)(x − 2) = x² − 6x + 8.
(−6)x = −18 ⇒ x = 3 (≠ 4, δεκτή).

Απάντηση: 3

Άρρητη εξίσωση

Να λύσετε την εξίσωση √(x ) = x − 2.

Υποδείξεις

Περιορισμός: x ≥ 2.
Ύψωσε στο τετράγωνο και έλεγξε τις ρίζες.

Λύση και απάντηση

x = (x − 2)² ⇒ x² − 5x + 4 = 0.
Ρίζες 4 και 1. Η 1 < 2 απορρίπτεται.
x = 4.

Απάντηση: 4

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Ρητή εξίσωση με περιορισμούς · Άρρητη εξίσωση.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η εξίσωση √(x + 3) = x + 1 έχει λύση:
- x = 1
- x = 1 ή x = −2
- x = 3
- x = −2
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 1. Υψώνοντας στο τετράγωνο: x² + x − 2 = 0. Το x = −2 απορρίπτεται, αφού √1 ≠ −1.
Σε εξισώσεις με ρίζες, μετά την ύψωση στο τετράγωνο:
- δεν χρειάζεται έλεγχος
- ελέγχουμε τις λύσεις στην αρχική εξίσωση
- κρατάμε μόνο τις ακέραιες λύσεις
- κρατάμε μόνο τις θετικές λύσεις
Δες την απάντηση
Σωστό: ελέγχουμε τις λύσεις στην αρχική εξίσωση. Η ύψωση μπορεί να δώσει ξένες λύσεις.
Η εξίσωση x/(x − 1) = 2 έχει λύση:
- x = 1
- x = 2
- x = −2
- είναι αδύνατη
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 2. x = 2x − 2, άρα x = 2 (και x ≠ 1).
Η εξίσωση (x² − 1)/(x − 1) = 0 έχει λύση:
- x = 1
- x = ±1
- x = −1
- είναι αδύνατη
Δες την απάντηση
Σωστό: x = −1. Πρέπει x ≠ 1, οπότε μένει x = −1.
Η εξίσωση √x = −2:
- έχει λύση x = 2
- έχει λύση x = 4
- έχει λύση x = −4
- είναι αδύνατη
Δες την απάντηση
Σωστό: είναι αδύνατη. Η τετραγωνική ρίζα δεν είναι ποτέ αρνητική.
Η εξίσωση √(2x − 1) = 3 έχει λύση:
- x = 2
- x = 4
- x = 5
- x = 9/2
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 5. 2x − 1 = 9, άρα x = 5.
Ο περιορισμός για να ορίζεται η √(x − 4) είναι:
- x > 4
- x ≤ 4
- x ≥ 4
- κανένας
Δες την απάντηση
Σωστό: x ≥ 4. Η υπόρριζη ποσότητα πρέπει να είναι μη αρνητική.
Η ανίσωση (x − 2)/(x + 1) > 0 αληθεύει για:
- x < −1
- x < −1 ή x > 2
- x > 2
- −1 < x < 2
Δες την απάντηση
Σωστό: x < −1 ή x > 2. Ισοδύναμη με (x − 2)(x + 1) > 0.
Η ανίσωση √x < 3 αληθεύει για:
- 0 ≤ x < 3
- 0 ≤ x < 9
- x < 3
- x < 9
Δες την απάντηση
Σωστό: 0 ≤ x < 9. Πρέπει x ≥ 0 και x < 9.
Η εξίσωση x − 3√x + 2 = 0 έχει λύσεις:
- x = 1 ή x = 2
- x = 1 ή x = 4
- μόνο x = 1
- μόνο x = 4
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 1 ή x = 4. Με y = √x: y² − 3y + 2 = 0, y = 1 ή 2, άρα x = 1 ή 4.

Σωστό ή Λάθος

Η εξίσωση √(x + 2) = x έχει λύσεις x = 2 και x = −1.
Δες την απάντηση
Λάθος. Υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτουν και οι δύο, αλλά η −1 απορρίπτεται: √1 = 1 ≠ −1.
Όταν υψώνουμε στο τετράγωνο σε άρρητη εξίσωση, πρέπει να ελέγχουμε τις λύσεις.
Δες την απάντηση
Σωστό. Μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες.
Η x² − 1x − 1 = 0 έχει λύσεις x = ±1.
Δες την απάντηση
Λάθος. Το x = 1 μηδενίζει τον παρονομαστή, άρα μόνο x = −1.
Η x⁴ − 5x² + 4 = 0 έχει 4 πραγματικές ρίζες.
Δες την απάντηση
Σωστό. x² = 1 ή x² = 4 ⇒ x = ±1, ±2.
Η ανίσωση 1x > 1 έχει λύσεις x < 1.
Δες την απάντηση
Λάθος. Λύσεις είναι 0 < x < 1.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.