MathGreeceMathGreece

2.3 Απόσταση σημείου από ευθεία – Εμβαδόν τριγώνου

Μάθημα 2.3 Απόσταση σημείου από ευθεία – Εμβαδόν τριγώνου της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Η ευθεία στο επίπεδο». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Απόσταση σημείου από ευθεία – Εμβαδόν τριγώνου

Απόσταση σημείου από ευθεία

Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(5, −4) από την ευθεία 3x − 4y + 4 = 0.
Υποδείξεις
  • d = |Ax₀ + By₀ + Γ|√(A² + B²).
Λύση και απάντηση
  1. |3·5 − 4·(−4) + 4| = 35.
  2. √(9 + 16) = 5.
  3. d = 7.

Απάντηση: 7

Απόσταση παράλληλων ευθειών

Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών 5x + 12y − 1 = 0 και 5x + 12y + 9 = 0.
Υποδείξεις
  • Οι ευθείες έχουν ίδια A, B.
  • d = |Γ₁ − Γ₂|√(A² + B²).
Λύση και απάντηση
  1. d = |−1 − 9|/13 = 1013.

Απάντηση: 1013

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Απόσταση σημείου από ευθεία · Απόσταση παράλληλων ευθειών · Εμβαδόν τριγώνου με συντεταγμένες.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η απόσταση του Μ(x₀, y₀) από την Αx + Βy + Γ = 0 είναι:

    • (Αx₀ + Βy₀ + Γ)/(Α + Β)
    • |Αx₀ + Βy₀ + Γ|/√(Α² + Β²)
    • |Αx₀ + Βy₀|/√(Α² + Β²)
    • √(x₀² + y₀²)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: |Αx₀ + Βy₀ + Γ|/√(Α² + Β²). Τύπος απόστασης σημείου από ευθεία.

  2. Η απόσταση του (0, 0) από την 3x + 4y − 10 = 0 είναι:

    • 10
    • 10/7
    • 2
    • 5
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2. |−10|/5 = 2.

  3. Η απόσταση του (1, 2) από την x = 5 είναι:

    • 1
    • 3
    • 4
    • 5
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 4. |1 − 5|.

  4. Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από:

    • (1/2)(ΑΒ·ΑΓ)
    • (1/2)|det(ΑΒ, ΑΓ)|
    • det(ΑΒ, ΑΓ)
    • |ΑΒ|·|ΑΓ|
    Δες την απάντηση

    Σωστό: (1/2)|det(ΑΒ, ΑΓ)|. Ορίζουσα των διανυσμάτων.

  5. Το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές (0, 0), (4, 0), (0, 3) είναι:

    • 12
    • 3,5
    • 6
    • 7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 6. (1/2)·4·3.

  6. Αν det(ΑΒ, ΑΓ) = 0, τότε τα Α, Β, Γ είναι:

    • κορυφές ισοσκελούς
    • κορυφές ορθογωνίου τριγώνου
    • συνευθειακά
    • τυχαία
    Δες την απάντηση

    Σωστό: συνευθειακά. Μηδενικό εμβαδόν.

  7. Η απόσταση των παράλληλων ευθειών y = 2x + 1 και y = 2x + 6 είναι:

    • 1
    • 5
    • 5/√3
    • √5
    Δες την απάντηση

    Σωστό: √5. |6 − 1|/√(1 + 4) = 5/√5.

  8. Η ορίζουσα det(α, β) για α = (1, 2), β = (3, 4) είναι:

    • 10
    • 2
    • −10
    • −2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −2. 1·4 − 2·3.

  9. Το εμβαδόν του τριγώνου με ΑΒ = (2, 0) και ΑΓ = (1, 3) είναι:

    • 1,5
    • 2
    • 3
    • 6
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 3. (1/2)|2·3 − 0·1|.

  10. Αν σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε, η απόστασή του από αυτή είναι:

    • 0
    • 1
    • άπειρη
    • δεν ορίζεται
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. Ο αριθμητής του τύπου μηδενίζεται.

Σωστό ή Λάθος

  1. Η απόσταση του σημείου (1, 1) από την ευθεία x + y − 2 = 0 είναι √2.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Το σημείο ανήκει στην ευθεία (1 + 1 − 2 = 0), άρα η απόσταση είναι 0.

  2. d(Μ0, ε) = |Αx0 + Βy0 + Γ|√(Α2 + Β2).

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Τύπος απόστασης σημείου από ευθεία.

  3. Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ είναι det(ΑΒ, ΑΓ).

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι 12|det(ΑΒ, ΑΓ)|.

  4. Αν det(ΑΒ, ΑΓ) = 0, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Τα ΑΒ, ΑΓ είναι παράλληλα.

  5. Η απόσταση δύο παράλληλων ευθειών 3x + 4y + 1 = 0 και 3x + 4y + 11 = 0 είναι 10.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. d = |11 − 1|√(9 + 16) = 2.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Η ευθεία στο επίπεδο»