3.1 Ο κύκλος

Μάθημα 3.1 Ο κύκλος της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Κωνικές τομές». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Ο κύκλος

Κέντρο και ακτίνα

Να βρείτε το κέντρο Κ(x₀, y₀) και την ακτίνα ρ του κύκλου x² + y² − 8x + 8y + 28 = 0.

Υποδείξεις

Κ(−A/2, −B/2).
ρ = √(A² + B² − 4Γ)2.

Λύση και απάντηση

Κ(4, −4).
ρ = √(16 + 16 − 28) = 2.

Απάντηση: x₀ = 4 · y₀ = −4 · ρ = 2

Εφαπτομένη σε σημείο του κύκλου

Να βρείτε την εφαπτομένη y = λx + β του κύκλου x² + y² = 100 στο σημείο του Μ(8, 6).

Υποδείξεις

Εφαπτομένη στο Μ(x₁, y₁): xx₁ + yy₁ = ρ².
Λύσε ως προς y.

Λύση και απάντηση

Εφαπτομένη: 8x + 6y = 100.
y = −43x + 503.

Απάντηση: λ = −43 · β = 503

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Κέντρο και ακτίνα · Εφαπτομένη σε σημείο του κύκλου · Ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο · Μήκος χορδής.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Ο κύκλος με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση:
- x + y = ρ
- x² + y² = ρ
- x² + y² = ρ²
- x² − y² = ρ²
Δες την απάντηση
Σωστό: x² + y² = ρ². Απόσταση από την αρχή ίση με ρ.
Ο κύκλος με κέντρο Κ(x₀, y₀) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση:
- (x + x₀)² + (y + y₀)² = ρ²
- (x − x₀) + (y − y₀) = ρ
- (x − x₀)² + (y − y₀)² = ρ²
- x² + y² = x₀² + y₀²
Δες την απάντηση
Σωστό: (x − x₀)² + (y − y₀)² = ρ². Γενική εξίσωση κύκλου.
Η εφαπτομένη του x² + y² = ρ² στο σημείο Α(x₁, y₁) είναι:
- x + y = ρ
- xx₁ + yy₁ = ρ²
- xx₁ − yy₁ = ρ²
- xy₁ + yx₁ = ρ²
Δες την απάντηση
Σωστό: xx₁ + yy₁ = ρ². Γνωστός τύπος.
Ο κύκλος (x − 2)² + (y + 3)² = 16 έχει κέντρο και ακτίνα:
- (2, 3), 4
- (2, −3), 16
- (2, −3), 4
- (−2, 3), 4
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, −3), 4. Από τη μορφή της εξίσωσης.
Η x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0 παριστάνει κύκλο αν και μόνο αν:
- Α + Β > Γ
- Α² + Β² − 4Γ < 0
- Α² + Β² − 4Γ > 0
- Γ > 0
Δες την απάντηση
Σωστό: Α² + Β² − 4Γ > 0. Συμπληρώνουμε τετράγωνα.
Ο κύκλος x² + y² − 4x + 6y = 0 έχει κέντρο:
- (2, −3)
- (4, −6)
- (−2, 3)
- (−4, 6)
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, −3). (−Α/2, −Β/2).
Η εφαπτομένη του x² + y² = 25 στο (3, 4) είναι:
- 3x + 4y = 25
- 3x − 4y = 25
- 4x + 3y = 25
- x + y = 7
Δες την απάντηση
Σωστό: 3x + 4y = 25. xx₁ + yy₁ = ρ².
Μια ευθεία εφάπτεται σε κύκλο (Κ, ρ) αν και μόνο αν:
- διέρχεται από το Κ
- η απόσταση είναι 0
- η απόσταση είναι μικρότερη από ρ
- η απόσταση του Κ από την ευθεία ισούται με ρ
Δες την απάντηση
Σωστό: η απόσταση του Κ από την ευθεία ισούται με ρ. Κριτήριο επαφής.
Το σημείο (1, 1) ως προς τον κύκλο x² + y² = 4 είναι:
- εξωτερικό
- εσωτερικό
- σημείο του κύκλου
- το κέντρο
Δες την απάντηση
Σωστό: εσωτερικό. 1 + 1 = 2 < 4.
Ο κύκλος με διάμετρο το ΑΒ, Α(0, 0) και Β(6, 8), έχει ακτίνα:
- 10
- 14
- 5
- 7
Δες την απάντηση
Σωστό: 5. ΑΒ = 10, ακτίνα το μισό.

Σωστό ή Λάθος

Η εξίσωση x² + y² = −4 παριστάνει κύκλο ακτίνας 2.
Δες την απάντηση
Λάθος. Δεν παριστάνει κανένα σημείο: το άθροισμα τετραγώνων δεν γίνεται αρνητικό.
Η εφαπτομένη του κύκλου x² + y² = ρ² στο σημείο του (x₁, y₁) είναι xx₁ + yy₁ = ρ².
Δες την απάντηση
Σωστό. Γνωστός τύπος.
Η x² + y² − 6x + 4y = 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο (−3, 2).
Δες την απάντηση
Λάθος. Κέντρο (3, −2): (x − 3)² + (y + 2)² = 13.
Μια ευθεία εφάπτεται σε κύκλο αν η απόσταση του κέντρου από αυτήν ισούται με την ακτίνα.
Δες την απάντηση
Σωστό. Κριτήριο επαφής.
Η ευθεία y = x τέμνει τον κύκλο x² + y² = 1 σε ένα σημείο.
Δες την απάντηση
Λάθος. 2x² = 1 ⇒ x = ±√22: δύο σημεία.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.