3.4 Η υπερβολή

Μάθημα 3.4 Η υπερβολή της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Κωνικές τομές». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Η υπερβολή

Εστίες, ασύμπτωτες, εκκεντρότητα

Για την υπερβολή x²16 − y²9 = 1 να βρείτε: την ημιεστιακή απόσταση γ, τον θετικό συντελεστή διεύθυνσης λ των ασυμπτώτων και την εκκεντρότητα ε.

Υποδείξεις

γ² = α² + β² (προσοχή: + στην υπερβολή).
Ασύμπτωτες y = ±(β/α)x, ε = γ/α.

Λύση και απάντηση

γ = √(16 + 9) = 5.
λ = 34, ε = 54.

Απάντηση: γ = 5 · λ = 34 · ε = 54

Υπερβολή από ασύμπτωτες και εστία

Υπερβολή x²/α² − y²/β² = 1 έχει ασύμπτωτες y = ±43x και εστία E(10, 0). Να βρείτε α² και β².

Υποδείξεις

β/α = 43 ⇒ β = 43α.
α² + β² = γ² = 100.

Λύση και απάντηση

α² + 169α² = 100 ⇒ α² = 36.
β² = 64.

Απάντηση: α² = 36 · β² = 64

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Εστίες, ασύμπτωτες, εκκεντρότητα · Υπερβολή από ασύμπτωτες και εστία.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Υπερβολή λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων με:
- ίσες αποστάσεις από σημείο και ευθεία
- σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων 2α από δύο σημεία (εστίες)
- σταθερή απόσταση από σημείο
- σταθερό άθροισμα αποστάσεων
Δες την απάντηση
Σωστό: σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων 2α από δύο σημεία (εστίες). Ορισμός.
Η υπερβολή με εστίες στον x′x έχει εξίσωση:
- xy = 1 πάντα
- x²/α² + y²/β² = 1
- x²/α² − y²/β² = 1
- y² = 2px
Δες την απάντηση
Σωστό: x²/α² − y²/β² = 1. Με β² = γ² − α².
Στην υπερβολή ισχύει:
- α² = β² + γ²
- β² = α² − γ²
- γ = α + β
- γ² = α² + β²
Δες την απάντηση
Σωστό: γ² = α² + β². Σχέση α, β, γ.
Οι ασύμπτωτες της x²/α² − y²/β² = 1 είναι:
- x = ±α
- y = ±(α/β)x
- y = ±(β/α)x
- y = ±x πάντα
Δες την απάντηση
Σωστό: y = ±(β/α)x. Γνωστός τύπος.
Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι:
- ε = 0
- ε = 1
- ε = γ/α < 1
- ε = γ/α > 1
Δες την απάντηση
Σωστό: ε = γ/α > 1. Αφού γ > α.
Η υπερβολή x²/9 − y²/16 = 1 έχει εστίες:
- (±3, 0)
- (±4, 0)
- (±5, 0)
- (±√7, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: (±5, 0). γ² = 9 + 16 = 25.
Οι ασύμπτωτες της x²/9 − y²/16 = 1 είναι:
- y = ±(16/9)x
- y = ±(3/4)x
- y = ±(4/3)x
- y = ±x
Δες την απάντηση
Σωστό: y = ±(4/3)x. β/α = 4/3.
Ισοσκελής υπερβολή λέγεται αυτή με:
- α = β
- α = γ
- β = 0
- γ = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: α = β. Ασύμπτωτες y = ±x (κάθετες).
Η εφαπτομένη της x²/α² − y²/β² = 1 στο (x₁, y₁) είναι:
- xx₁ − yy₁ = 1 πάντα
- xx₁/α² + yy₁/β² = 1
- xx₁/α² − yy₁/β² = 1
- y = y₁
Δες την απάντηση
Σωστό: xx₁/α² − yy₁/β² = 1. Γνωστός τύπος.
Η εκκεντρότητα της ισοσκελούς υπερβολής είναι:
- 1
- 2
- √2
- √3
Δες την απάντηση
Σωστό: √2. γ² = 2α², άρα γ/α = √2.

Σωστό ή Λάθος

Για κάθε σημείο Μ της υπερβολής ισχύει ΜΕ′ + ΜΕ = 2α.
Δες την απάντηση
Λάθος. Για την υπερβολή ισχύει |ΜΕ′ − ΜΕ| = 2α.
Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι μεγαλύτερη από 1.
Δες την απάντηση
Σωστό. ε = γα με γ > α.
Η υπερβολή x²16 − y²9 = 1 έχει ασύμπτωτες y = ±43x.
Δες την απάντηση
Λάθος. y = ±βαx = ±34x.
Στην υπερβολή x²α² − y²β² = 1 ισχύει γ² = α² + β².
Δες την απάντηση
Σωστό. Γνωστή σχέση.
Η υπερβολή τέμνει τις ασύμπτωτές της.
Δες την απάντηση
Λάθος. Τις πλησιάζει απεριόριστα χωρίς να τις τέμνει.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.