3.3 Η έλλειψη

Μάθημα 3.3 Η έλλειψη της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Κωνικές τομές». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Η έλλειψη

Εστίες και εκκεντρότητα

Για την έλλειψη x²25 + y²9 = 1, να βρείτε την ημιεστιακή απόσταση γ και την εκκεντρότητα ε.

Υποδείξεις

γ² = α² − β².
ε = γ/α.

Λύση και απάντηση

γ² = 25 − 9 = 16 ⇒ γ = 4.
ε = 45.

Απάντηση: γ = 4 · ε = 45

Εξίσωση έλλειψης

Έλλειψη με κέντρο Ο έχει εστίες E′(−3, 0), E(3, 0) και μεγάλο άξονα μήκους 10. Αν η εξίσωσή της είναι x²/α² + y²/β² = 1, να βρείτε τα α² και β².

Υποδείξεις

Μεγάλος άξονας = 2α.
β² = α² − γ².

Λύση και απάντηση

α = 5, γ = 3.
β² = 25 − 9 = 16.

Απάντηση: α² = 25 · β² = 16

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Εστίες και εκκεντρότητα · Εξίσωση έλλειψης · Εφαπτομένη έλλειψης.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Έλλειψη λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων με:
- ίσες αποστάσεις από σημείο και ευθεία
- σταθερή απόσταση από ένα σημείο
- σταθερή διαφορά αποστάσεων από δύο σημεία
- σταθερό άθροισμα αποστάσεων 2α από δύο σημεία (εστίες)
Δες την απάντηση
Σωστό: σταθερό άθροισμα αποστάσεων 2α από δύο σημεία (εστίες). Ορισμός της έλλειψης.
Η έλλειψη με εστίες στον x′x έχει εξίσωση:
- x² + y² = α²
- x²/α² + y²/β² = 1
- x²/α² − y²/β² = 1
- y² = 2px
Δες την απάντηση
Σωστό: x²/α² + y²/β² = 1. Με β² = α² − γ².
Στην έλλειψη x²/α² + y²/β² = 1 (α > β) ισχύει:
- α = β + γ
- β² = α² + γ²
- β² = α² − γ²
- γ² = α² + β²
Δες την απάντηση
Σωστό: β² = α² − γ². Σχέση α, β, γ.
Η έλλειψη x²/25 + y²/9 = 1 έχει εστίες:
- (0, ±4)
- (±3, 0)
- (±4, 0)
- (±5, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: (±4, 0). γ² = 25 − 9 = 16.
Η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι:
- ε = α/γ
- ε = β/α
- ε = γ/α, με 0 < ε < 1
- ε = γ/α, με ε > 1
Δες την απάντηση
Σωστό: ε = γ/α, με 0 < ε < 1. Μετράει πόσο «πεπλατυσμένη» είναι.
Η εκκεντρότητα της x²/25 + y²/9 = 1 είναι:
- 3/4
- 3/5
- 4/5
- 5/4
Δες την απάντηση
Σωστό: 4/5. γ/α = 4/5.
Η εφαπτομένη της x²/α² + y²/β² = 1 στο (x₁, y₁) είναι:
- xx₁ + yy₁ = α²
- xx₁/α² + yy₁/β² = 1
- xx₁/α² − yy₁/β² = 1
- y = x₁
Δες την απάντηση
Σωστό: xx₁/α² + yy₁/β² = 1. Γνωστός τύπος.
Όταν η εκκεντρότητα της έλλειψης τείνει στο 0, η έλλειψη:
- γίνεται ευθεία
- γίνεται παραβολή
- γίνεται υπερβολή
- πλησιάζει τον κύκλο
Δες την απάντηση
Σωστό: πλησιάζει τον κύκλο. Το γ πλησιάζει το 0, οπότε β ≈ α.
Το μήκος του μεγάλου άξονα της x²/16 + y²/4 = 1 είναι:
- 16
- 2
- 4
- 8
Δες την απάντηση
Σωστό: 8. 2α = 8.
Για σημείο Μ της x²/9 + y²/5 = 1, το άθροισμα ΜΕ + ΜΕ′ είναι:
- 3
- 4
- 6
- 9
Δες την απάντηση
Σωστό: 6. 2α = 6.

Σωστό ή Λάθος

Στην έλλειψη x²α² + y²β² = 1 (α > β) ισχύει γ² = α² + β².
Δες την απάντηση
Λάθος. Στην έλλειψη γ² = α² − β². Το + αφορά την υπερβολή.
Για κάθε σημείο Μ της έλλειψης ισχύει ΜΕ′ + ΜΕ = 2α.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ορισμός της έλλειψης.
Η εκκεντρότητα έλλειψης μπορεί να είναι 1.
Δες την απάντηση
Λάθος. Για την έλλειψη 0 < ε < 1.
Όσο η εκκεντρότητα πλησιάζει το 1, η έλλειψη γίνεται πιο «επιμήκης».
Δες την απάντηση
Σωστό. Το β γίνεται πολύ μικρότερο από το α.
Η έλλειψη x²25 + y²9 = 1 έχει εστίες (±3, 0).
Δες την απάντηση
Λάθος. γ = √(25 − 9) = 4: εστίες (±4, 0).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.