3.5 Η εξίσωση Αx² + Βy² + Γx + Δy + Ε = 0

Μάθημα 3.5 Η εξίσωση Αx² + Βy² + Γx + Δy + Ε = 0 της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Κωνικές τομές». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Η εξίσωση Αx² + Βy² + Γx + Δy + Ε = 0

Είδος κωνικής τομής

Τι παριστάνει (αν δεν είναι εκφυλισμένη) η εξίσωση 4x² + 9y² + 24x − 18y + 37 = 0;

Έλλειψη
Κύκλος
Υπερβολή
Παραβολή

Υποδείξεις

Κοίτα τους συντελεστές των x² και y².
Α = Β: κύκλος · ΑΒ > 0 (Α ≠ Β): έλλειψη · ΑΒ < 0: υπερβολή · ένας από τους δύο 0: παραβολή.

Λύση και απάντηση

Συντελεστές: x² → 4, y² → 9.
Άρα: Έλλειψη.

Απάντηση: Έλλειψη

Κέντρο έλλειψης με συμπλήρωση τετραγώνου

Η εξίσωση 16x² + y² + 128x − 8y + 256 = 0 παριστάνει έλλειψη. Να βρείτε το κέντρο της (x₀, y₀).

Υποδείξεις

Συμπλήρωσε τετράγωνα: 16(x² + 8x) + 1(y² − 8y) = …
Θα πάρεις 16(x + 4)² + 1(y − 4)² = 16.

Λύση και απάντηση

16(x + 4)² + 1(y − 4)² = 16.
Κέντρο (−4, 4).

Απάντηση: x₀ = −4 · y₀ = 4

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Είδος κωνικής τομής · Κέντρο έλλειψης με συμπλήρωση τετραγώνου.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η εξίσωση x² + y² − 2x − 4y + 1 = 0 παριστάνει:
- κανένα σημείο
- κύκλο με κέντρο (1, 2) και ακτίνα 2
- κύκλο με κέντρο (2, 4)
- παραβολή
Δες την απάντηση
Σωστό: κύκλο με κέντρο (1, 2) και ακτίνα 2. (x − 1)² + (y − 2)² = 4.
Η εξίσωση 4x² + 9y² = 36 παριστάνει:
- έλλειψη
- κύκλο
- παραβολή
- υπερβολή
Δες την απάντηση
Σωστό: έλλειψη. x²/9 + y²/4 = 1.
Η εξίσωση x² − y² = 4 παριστάνει:
- έλλειψη
- δύο ευθείες
- ισοσκελή υπερβολή
- κύκλο
Δες την απάντηση
Σωστό: ισοσκελή υπερβολή. x²/4 − y²/4 = 1.
Η εξίσωση y² = 4(x − 1) παριστάνει:
- έλλειψη
- κύκλο
- παραβολή με κορυφή (1, 0)
- υπερβολή
Δες την απάντηση
Σωστό: παραβολή με κορυφή (1, 0). Μεταφορά της y² = 4x κατά 1 δεξιά.
Η εξίσωση x² + y² + 1 = 0:
- δεν παριστάνει κανένα σημείο
- παριστάνει ευθεία
- παριστάνει κύκλο ακτίνας 1
- παριστάνει την αρχή
Δες την απάντηση
Σωστό: δεν παριστάνει κανένα σημείο. Το αριστερό μέλος είναι πάντα θετικό.
Η εξίσωση (x − 1)²/4 + (y + 2)² = 1 παριστάνει έλλειψη με κέντρο:
- (0, 0)
- (1, −2)
- (4, 1)
- (−1, 2)
Δες την απάντηση
Σωστό: (1, −2). Μεταφορά της x²/4 + y² = 1.
Αν Α = Β ≠ 0 (και η εξίσωση δεν είναι κενή ή σημείο), η Αx² + Βy² + Γx + Δy + Ε = 0 παριστάνει:
- ευθεία
- κύκλο
- παραβολή
- υπερβολή
Δες την απάντηση
Σωστό: κύκλο. Ίσοι συντελεστές στα τετράγωνα.
Αν ΑΒ < 0 (μη εκφυλισμένη περίπτωση), η εξίσωση παριστάνει:
- έλλειψη
- κύκλο
- παραβολή
- υπερβολή
Δες την απάντηση
Σωστό: υπερβολή. Ετερόσημοι συντελεστές.
Αν ένας από τους Α, Β είναι 0 (μη εκφυλισμένη περίπτωση), η εξίσωση παριστάνει:
- έλλειψη
- κύκλο
- παραβολή
- υπερβολή
Δες την απάντηση
Σωστό: παραβολή. Μόνο μία μεταβλητή στο τετράγωνο.
Η εξίσωση x² − y² = 0 παριστάνει:
- ένα σημείο
- δύο τεμνόμενες ευθείες
- κύκλο
- υπερβολή
Δες την απάντηση
Σωστό: δύο τεμνόμενες ευθείες. (x − y)(x + y) = 0.

Σωστό ή Λάθος

Η εξίσωση x² + y² + Γx + Δy + Ε = 0 παριστάνει πάντα κύκλο.
Δες την απάντηση
Λάθος. Παριστάνει κύκλο μόνο αν Γ² + Δ² − 4Ε > 0. Αλλιώς σημείο ή τίποτα.
Η εξίσωση 4x² + 9y² = 36 παριστάνει έλλειψη.
Δες την απάντηση
Σωστό. Διαιρώντας με 36: x²9 + y²4 = 1.
Η εξίσωση x² − y² = 0 παριστάνει υπερβολή.
Δες την απάντηση
Λάθος. Παριστάνει δύο ευθείες (y = x και y = −x).
Αν στην Αx² + Βy² + … = 0 τα Α, Β είναι ετερόσημα, η καμπύλη (αν είναι κωνική) είναι υπερβολή.
Δες την απάντηση
Σωστό. Χαρακτηριστικό της υπερβολής.
Η y = x² δεν είναι κωνική τομή.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι παραβολή.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.