4.1 Μαθηματική επαγωγή

Μάθημα 4.1 Μαθηματική επαγωγή της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Θεωρία αριθμών». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Μαθηματική επαγωγή

Ελάχιστο ν για ανισότητα

Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός ν₀ ώστε η ανισότητα 2^ν > 5ν + 1 να ισχύει για κάθε ν ≥ ν₀ (για να ξεκινήσει η επαγωγή);

Υποδείξεις

Δοκίμασε διαδοχικές τιμές του ν· προσοχή, μπορεί να ισχύει για μικρά ν, να αποτυγχάνει και μετά να ισχύει για πάντα.
Ζητάμε από πού και πέρα ισχύει συνεχώς.

Λύση και απάντηση

Ελέγχουμε τιμές: η ανισότητα ισχύει για κάθε ν ≥ 5, ενώ αποτυγχάνει για ν = 4.

Απάντηση: 5

Άθροισμα με τύπο που αποδεικνύεται επαγωγικά

Με επαγωγή αποδεικνύεται ότι 1·2 + 2·3 + … + ν(ν + 1) = ν(ν + 1)(ν + 2)/3. Να υπολογίσετε το άθροισμα για ν = 7.

Υποδείξεις

Αντικατάστησε ν = 7 στον τύπο.

Λύση και απάντηση

Για ν = 7: 168.

Απάντηση: 168

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Ελάχιστο ν για ανισότητα · Άθροισμα με τύπο που αποδεικνύεται επαγωγικά · Διαιρετότητα που αποδεικνύεται επαγωγικά.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής χρησιμοποιείται για να αποδείξουμε προτάσεις που αφορούν:
- μόνο άρτιους
- μόνο πρώτους
- πραγματικούς αριθμούς γενικά
- φυσικούς αριθμούς
Δες την απάντηση
Σωστό: φυσικούς αριθμούς. Π.χ. P(ν) για κάθε ν ≥ 1.
Το πρώτο βήμα της επαγωγής είναι:
- να βρούμε αντιπαράδειγμα
- να δείξουμε την P(ν + 1)
- να δείξουμε ότι ισχύει η P(1) (ή η αρχική τιμή)
- να υποθέσουμε ότι ισχύει η P(ν)
Δες την απάντηση
Σωστό: να δείξουμε ότι ισχύει η P(1) (ή η αρχική τιμή). Ο έλεγχος της αρχικής περίπτωσης.
Το επαγωγικό βήμα είναι:
- αν ισχύει η P(ν + 1), να δείξουμε την P(ν)
- αν ισχύει η P(ν), να δείξουμε ότι ισχύει η P(ν + 1)
- να δείξουμε την P(0)
- να δείξουμε την P(2)
Δες την απάντηση
Σωστό: αν ισχύει η P(ν), να δείξουμε ότι ισχύει η P(ν + 1). Η «αλυσίδα» της επαγωγής.
Με επαγωγή αποδεικνύεται ότι 1 + 2 + … + ν =
- 2ν
- ν(ν + 1)/2
- ν(ν − 1)/2
- ν²
Δες την απάντηση
Σωστό: ν(ν + 1)/2. Γνωστός τύπος.
Με επαγωγή αποδεικνύεται ότι 1 + 3 + 5 + … + (2ν − 1) =
- 2ν
- 2ν − 1
- ν(ν + 1)
- ν²
Δες την απάντηση
Σωστό: ν². Άθροισμα των ν πρώτων περιττών.
Η ανισότητα του Bernoulli λέει ότι για α > −1 και ν ≥ 1:
- (1 + α)^ν = 1 + να
- (1 + α)^ν ≤ 1 + να
- (1 + α)^ν ≥ 1 + να
- (1 + α)^ν ≥ να
Δες την απάντηση
Σωστό: (1 + α)^ν ≥ 1 + να. Αποδεικνύεται με επαγωγή.
Αν παραλείψουμε τον έλεγχο της αρχικής περίπτωσης:
- αρκεί να ελέγξουμε το ν = 100
- αρκεί το επαγωγικό βήμα
- η απόδειξη δεν είναι έγκυρη
- η απόδειξη είναι πάντα σωστή
Δες την απάντηση
Σωστό: η απόδειξη δεν είναι έγκυρη. Το επαγωγικό βήμα μόνο του δεν αρκεί.
Το 2^ν > ν ισχύει για:
- κάθε ν ≥ 1
- κανένα ν
- μόνο ν άρτιο
- μόνο ν ≥ 3
Δες την απάντηση
Σωστό: κάθε ν ≥ 1. 2 > 1, και αν 2^ν > ν τότε 2^(ν+1) > 2ν ≥ ν + 1.
Με επαγωγή αποδεικνύεται ότι το 3^ν − 1 είναι πάντα:
- άρτιο
- περιττό
- πολλαπλάσιο του 3
- πρώτος
Δες την απάντηση
Σωστό: άρτιο. 3^ν είναι περιττός.
Στο επαγωγικό βήμα, η υπόθεση ότι ισχύει η P(ν) λέγεται:
- αξίωμα
- επαγωγική υπόθεση
- λήμμα
- πόρισμα
Δες την απάντηση
Σωστό: επαγωγική υπόθεση. Ορολογία.

Σωστό ή Λάθος

Για να αποδείξουμε μια πρόταση P(ν) με επαγωγή αρκεί να δείξουμε ότι η P(1) ισχύει.
Δες την απάντηση
Λάθος. Χρειάζεται και το επαγωγικό βήμα P(ν) ⇒ P(ν + 1).
Με επαγωγή αποδεικνύεται ότι 1 + 2 + … + ν = ν(ν + 1)2.
Δες την απάντηση
Σωστό. Κλασικό παράδειγμα.
Αν ισχύει P(ν) ⇒ P(ν + 1) για κάθε ν, τότε η P(ν) ισχύει για κάθε ν.
Δες την απάντηση
Λάθος. Χρειάζεται και αρχικό βήμα. Π.χ. η «ν = ν + 1» ικανοποιεί το επαγωγικό βήμα αλλά δεν ισχύει ποτέ.
Με επαγωγή αποδεικνύεται ότι 2^ν > ν για κάθε ν ≥ 1.
Δες την απάντηση
Σωστό. Αρχικό βήμα 2 > 1, και 2^ν+1 = 2 · 2^ν > 2ν ≥ ν + 1.
Η επαγωγή μπορεί να ξεκινήσει μόνο από ν = 1.
Δες την απάντηση
Λάθος. Μπορεί να ξεκινήσει από οποιοδήποτε ν₀.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.