4.5 Πρώτοι αριθμοί

Μάθημα 4.5 Πρώτοι αριθμοί της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Θεωρία αριθμών». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Πρώτοι αριθμοί

Πλήθος διαιρετών

Πόσους θετικούς διαιρέτες έχει ο αριθμός 432;

Υποδείξεις

Ανάλυσε σε γινόμενο πρώτων: n = p₁^α₁·p₂^α₂·…
Πλήθος διαιρετών = (α₁ + 1)(α₂ + 1)…

Λύση και απάντηση

432 = 3³·2⁴.
Πλήθος = (3 + 1)·(4 + 1) = 20.

Απάντηση: 20

Έλεγχος αν ένας αριθμός είναι πρώτος

Για να ελέγξουμε αν ο 583 είναι πρώτος, αρκεί να δοκιμάσουμε τη διαιρετότητά του με τους πρώτους μέχρι κάποιον. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος πρώτος που πρέπει να δοκιμάσουμε;

Υποδείξεις

Αν ο n είναι σύνθετος, έχει πρώτο διαιρέτη ≤ √n.
√583 ≈ 24,15.

Λύση και απάντηση

√583 ≈ 24,15.
Μεγαλύτερος πρώτος ≤ 24: 23.
(Ο 583 δεν είναι πρώτος.)

Απάντηση: 23

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Πλήθος διαιρετών · Έλεγχος αν ένας αριθμός είναι πρώτος · Άθροισμα διαιρετών.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Πρώτος λέγεται ένας ακέραιος p > 1 που:
- έχει θετικούς διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό του
- δεν διαιρείται με το 2
- είναι μικρότερος από 100
- είναι περιττός
Δες την απάντηση
Σωστό: έχει θετικούς διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό του. Ορισμός.
Το 1 είναι πρώτος;
- Όχι
- Εξαρτάται
- Μόνο αν το θεωρήσουμε περιττό
- Ναι
Δες την απάντηση
Σωστό: Όχι. Ο ορισμός απαιτεί p > 1.
Ο μόνος άρτιος πρώτος είναι:
- 0
- 2
- 4
- δεν υπάρχει
Δες την απάντηση
Σωστό: 2. Κάθε άλλος άρτιος διαιρείται με το 2.
Το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι:
- 100
- 1000
- άπειρο
- πεπερασμένο αλλά άγνωστο
Δες την απάντηση
Σωστό: άπειρο. Θεώρημα του Ευκλείδη.
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής λέει ότι κάθε ακέραιος > 1:
- αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων
- είναι άρτιος
- είναι γινόμενο δύο πρώτων
- είναι πρώτος
Δες την απάντηση
Σωστό: αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων. Μοναδική ανάλυση (με προσέγγιση της σειράς).
Η ανάλυση του 60 σε γινόμενο πρώτων είναι:
- 2²·3·5
- 2·30
- 2·3·10
- 4·15
Δες την απάντηση
Σωστό: 2²·3·5. 60 = 4·3·5.
Αν p πρώτος και p | αβ, τότε:
- p = α
- p = αβ
- p | α ή p | β
- p | α και p | β
Δες την απάντηση
Σωστό: p | α ή p | β. Βασική ιδιότητα των πρώτων.
Για να ελέγξουμε αν ο ν είναι πρώτος, αρκεί να δοκιμάσουμε διαιρέτες έως:
- 10
- ν
- ν/2
- √ν
Δες την απάντηση
Σωστό: √ν. Αν ν = αβ, ένας από τους α, β είναι ≤ √ν.
Ποιος από τους παρακάτω είναι πρώτος;
- 51
- 87
- 91
- 97
Δες την απάντηση
Σωστό: 97. 91 = 7·13, 87 = 3·29, 51 = 3·17.
Αν p πρώτος και p ∤ α, τότε ΜΚΔ(p, α) =
- 0
- 1
- p
- α
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. Οι μόνοι θετικοί διαιρέτες του p είναι 1 και p.

Σωστό ή Λάθος

Το 1 είναι πρώτος αριθμός.
Δες την απάντηση
Λάθος. Πρώτος είναι ο φυσικός > 1 με μόνους διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του.
Κάθε φυσικός μεγαλύτερος του 1 αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων (με αγνόηση της σειράς).
Δες την απάντηση
Σωστό. Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.
Οι πρώτοι αριθμοί είναι πεπερασμένοι.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι άπειροι (Ευκλείδης).
Για να ελέγξουμε αν ο ν είναι πρώτος, αρκεί να δοκιμάσουμε διαιρέτες πρώτους ≤ √ν.
Δες την απάντηση
Σωστό. Αν ν = αβ, ένας από τους α, β είναι ≤ √ν.
Ο 2¹¹ − 1 = 2047 είναι πρώτος.
Δες την απάντηση
Λάθος. 2047 = 23 · 89.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.