4.3 Διαιρετότητα

Μάθημα 4.3 Διαιρετότητα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Θεωρία αριθμών». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Διαιρετότητα

Ακέραιο κλάσμα

Για πόσους ακεραίους ν ο αριθμός ν + 3ν − 6 είναι ακέραιος;

Υποδείξεις

ν + 3ν − 6 = 1 + 9ν − 6.
Πρέπει (ν − 6) | 9: θετικοί και αρνητικοί διαιρέτες.

Λύση και απάντηση

Διαιρέτες του 9: ±1, ±3, ±9.
Κάθε διαιρέτης δίνει ένα ν: σύνολο 6.

Απάντηση: 6

Κοινός διαιρέτης δύο παραστάσεων

Ο θετικός ακέραιος δ διαιρεί τους ν + 6 και 2ν + 9 για κάποιο ακέραιο ν. Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του δ;

Υποδείξεις

Αν δ | Χ και δ | Υ, τότε δ | κΧ + λΥ για κάθε κ, λ.
Διάλεξε κ, λ ώστε να «φύγει» το ν.

Λύση και απάντηση

δ | 2(ν + 6) − 1(2ν + 9) = 3.
Άρα δ ≤ 3 (και η τιμή αυτή επιτυγχάνεται για κατάλληλο ν).

Απάντηση: 3

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Ακέραιο κλάσμα · Κοινός διαιρέτης δύο παραστάσεων.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Λέμε ότι ο β ≠ 0 διαιρεί τον α (β | α) όταν:
- α + β = 0
- α > β
- υπάρχει ακέραιος κ με α = κβ
- υπάρχει ακέραιος κ με β = κα
Δες την απάντηση
Σωστό: υπάρχει ακέραιος κ με α = κβ. Ορισμός.
Αν α | β και β | γ, τότε:
- α = γ
- α | γ
- β = 0
- γ | α
Δες την απάντηση
Σωστό: α | γ. Μεταβατική ιδιότητα.
Αν α | β και α | γ, τότε για κάθε ακεραίους κ, λ:
- (κβ + λγ) | α
- α = β + γ
- α | (β·γ + 1)
- α | (κβ + λγ)
Δες την απάντηση
Σωστό: α | (κβ + λγ). Γραμμικός συνδυασμός.
Ποιος από τους παρακάτω διαιρείται με κάθε ακέραιο ≠ 0;
- 0
- 1
- 2
- −1
Δες την απάντηση
Σωστό: 0. 0 = 0·β για κάθε β.
Αν α | β και β | α (α, β ≠ 0), τότε:
- α = 0
- α = 2β
- α = β ή α = −β
- α = β πάντα
Δες την απάντηση
Σωστό: α = β ή α = −β. |α| = |β|.
Αν α | 1, τότε:
- α = 0
- α = 1 ή α = −1
- α = 2
- α είναι οποιοσδήποτε
Δες την απάντηση
Σωστό: α = 1 ή α = −1. Οι μόνοι διαιρέτες του 1.
Το γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων διαιρείται πάντα με:
- 4
- 5
- 6
- 9
Δες την απάντηση
Σωστό: 6. Ένας είναι άρτιος και ένας πολλαπλάσιο του 3.
Αν 3 | (α + 2), τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το 3 είναι:
- 0
- 1
- 2
- 3
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. α = 3κ − 2 = 3(κ − 1) + 1.
Αν α | β, τότε:
- α | (β + 1)
- α | βγ για κάθε ακέραιο γ
- β | α
- βγ | α
Δες την απάντηση
Σωστό: α | βγ για κάθε ακέραιο γ. β = κα, άρα βγ = (κγ)α.
Το ν³ − ν είναι πάντα πολλαπλάσιο του:
- 4
- 5
- 6
- 9
Δες την απάντηση
Σωστό: 6. (ν − 1)ν(ν + 1): τρεις διαδοχικοί.

Σωστό ή Λάθος

Αν α | β και α | γ, τότε α | β · γ μόνο αν α είναι πρώτος.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει πάντα: αν α | β τότε α | βγ.
Αν α | β και α | γ, τότε α | (κβ + λγ) για κάθε ακέραιους κ, λ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Διαιρετότητα γραμμικών συνδυασμών.
Αν α | β και β | α, τότε α = β.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει α = ±β (π.χ. 3 και −3).
Το 0 διαιρείται από κάθε ακέραιο α ≠ 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. 0 = α · 0.
Αν α | (β + γ), τότε α | β και α | γ.
Δες την απάντηση
Λάθος. 3 | (1 + 2) αλλά το 3 δεν διαιρεί ούτε το 1 ούτε το 2.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.