MathGreeceMathGreece

4.2 Ευκλείδεια διαίρεση

Μάθημα 4.2 Ευκλείδεια διαίρεση της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Θεωρία αριθμών». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Ευκλείδεια διαίρεση

Διαίρεση αρνητικού αριθμού

Να βρείτε το πηλίκο π και το υπόλοιπο υ της ευκλείδειας διαίρεσης του −64 με το 8.
Υποδείξεις
  • α = β·π + υ με 0 ≤ υ < β: το υπόλοιπο δεν μπορεί να είναι αρνητικό!
  • Διαίρεσε πρώτα το 64 με 8 και διόρθωσε.
Λύση και απάντηση
  1. 64 = 8·8 + 0.
  2. −64 = 8·(−8) + 0, με 0 ≤ 0 < 8.

Απάντηση: π = −8  ·  υ = 0

Υπόλοιπο από υπόλοιπο

Ένας ακέραιος α διαιρούμενος με το 18 αφήνει υπόλοιπο 2. Ποιο υπόλοιπο αφήνει ο α όταν διαιρεθεί με το 6;
Υποδείξεις
  • α = 18κ + 2.
  • 18 = 6·3, άρα α = 6(3κ) + 2.
Λύση και απάντηση
  1. α = 6·(3κ) + 2.
  2. 2 = 6·0 + 2.
  3. Υπόλοιπο: 2.

Απάντηση: 2

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Διαίρεση αρνητικού αριθμού · Υπόλοιπο από υπόλοιπο · Υπόλοιπο παράστασης.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Για ακεραίους α και β > 0 υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι κ, υ ώστε:

    • α = κ + βυ
    • α = κβ + υ, με 0 ≤ υ < β
    • α = κβ + υ, με 0 ≤ υ ≤ β
    • α = κβ − υ, με υ < 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: α = κβ + υ, με 0 ≤ υ < β. Ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.

  2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 47 με το 5 είναι:

    • 2
    • 3
    • 7
    • 9
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2. 47 = 9·5 + 2.

  3. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του −7 με το 3 είναι:

    • 1
    • 2
    • −1
    • −2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2. −7 = (−3)·3 + 2, με 0 ≤ 2 < 3.

  4. Κάθε ακέραιος είναι της μορφής:

    • 2κ + 3
    • 2κ ή 2κ + 1
    • 3κ
    • 4κ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2κ ή 2κ + 1. Υπόλοιπα 0 ή 1 στη διαίρεση με 2.

  5. Κάθε ακέραιος είναι της μορφής 3κ, 3κ + 1 ή:

    • 3κ + 2
    • 3κ + 3
    • 3κ − 3
    • 4κ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 3κ + 2. Υπόλοιπα 0, 1, 2.

  6. Το τετράγωνο ενός περιττού ακεραίου είναι της μορφής:

    • 4κ + 3
    • 8κ + 1
    • 8κ + 3
    • 8κ + 5
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 8κ + 1. (2μ + 1)² = 4μ(μ + 1) + 1 και το μ(μ + 1) είναι άρτιο.

  7. Το τετράγωνο κάθε ακεραίου είναι της μορφής:

    • 3κ + 2
    • 3κ + 2 ή 3κ
    • 3κ ή 3κ + 1
    • μόνο 3κ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 3κ ή 3κ + 1. Τα τετράγωνα δεν αφήνουν ποτέ υπόλοιπο 2 στη διαίρεση με 3.

  8. Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι πάντα:

    • άρτιο
    • περιττό
    • πρώτος
    • τέλειο τετράγωνο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: άρτιο. Ένας από τους δύο είναι άρτιος.

  9. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός ακεραίου με το 7 μπορεί να πάρει:

    • 6 τιμές
    • 7 διαφορετικές τιμές
    • 8 τιμές
    • άπειρες τιμές
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 7 διαφορετικές τιμές. 0, 1, …, 6.

  10. Αν α = 5κ + 3, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 2α με το 5 είναι:

    • 0
    • 1
    • 3
    • 6
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 1. 2α = 10κ + 6 = 5(2κ + 1) + 1.

Σωστό ή Λάθος

  1. Στην ευκλείδεια διαίρεση α = βπ + υ, το υπόλοιπο μπορεί να είναι αρνητικό όταν α < 0.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Πάντα ισχύει 0 ≤ υ < |β|.

  2. Η ευκλείδεια διαίρεση του −17 με το 5 δίνει π = −4 και υ = 3.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. −17 = 5 · (−4) + 3.

  3. Κάθε ακέραιος έχει μία από τις μορφές 3κ ή 3κ + 1.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Υπάρχει και η μορφή 3κ + 2.

  4. Κάθε περιττός ακέραιος είναι της μορφής 4κ + 1 ή 4κ + 3.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Τα υπόλοιπα με το 4 που δίνουν περιττό είναι 1 και 3.

  5. Το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης δεν είναι μοναδικά.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι μοναδικά.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Θεωρία αριθμών»