4.4 Μέγιστος κοινός διαιρέτης – Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Μάθημα 4.4 Μέγιστος κοινός διαιρέτης – Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Θεωρία αριθμών». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Μέγιστος κοινός διαιρέτης – Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

ΜΚΔ με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη

Με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη να βρείτε τον ΜΚΔ(72, 75).

Υποδείξεις

(α, β) = (β, υ), όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης α : β.
Συνέχισε μέχρι υπόλοιπο 0.

Λύση και απάντηση

75 = 72·1 + 3
72 = 3·24 + 0
ΜΚΔ = 3 (το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο).

Απάντηση: 3

ΕΚΠ από ΜΚΔ

Δύο θετικοί ακέραιοι έχουν ΜΚΔ = 3 και ΕΚΠ = 108. Αν ο ένας είναι 27, ποιος είναι ο άλλος;

Υποδείξεις

(α, β)·[α, β] = α·β.

Λύση και απάντηση

27·β = 3·108 ⇒ β = 12.

Απάντηση: 12

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: ΜΚΔ με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη · ΕΚΠ από ΜΚΔ · Μέγιστος ΜΚΔ παραστάσεων.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Ο ΜΚΔ(12, 18) είναι:
- 2
- 3
- 36
- 6
Δες την απάντηση
Σωστό: 6. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.
Το ΕΚΠ(4, 6) είναι:
- 10
- 12
- 2
- 24
Δες την απάντηση
Σωστό: 12. Το μικρότερο κοινό θετικό πολλαπλάσιο.
Για θετικούς ακεραίους α, β ισχύει:
- ΕΚΠ = α + β
- ΜΚΔ + ΕΚΠ = α + β
- ΜΚΔ = ΕΚΠ
- ΜΚΔ(α, β)·ΕΚΠ(α, β) = α·β
Δες την απάντηση
Σωστό: ΜΚΔ(α, β)·ΕΚΠ(α, β) = α·β. Βασική σχέση.
Δύο ακέραιοι λέγονται πρώτοι μεταξύ τους όταν:
- ΕΚΠ(α, β) = 1
- ΜΚΔ(α, β) = 1
- α = β
- είναι και οι δύο πρώτοι
Δες την απάντηση
Σωστό: ΜΚΔ(α, β) = 1. Ορισμός.
Αν δ = ΜΚΔ(α, β), τότε υπάρχουν ακέραιοι κ, λ ώστε:
- δ = α + β
- δ = α·β
- δ = κα + λβ
- δ = κα·λβ
Δες την απάντηση
Σωστό: δ = κα + λβ. Ο ΜΚΔ είναι γραμμικός συνδυασμός των α, β.
Ο ΜΚΔ(α, β) βρίσκεται με τον αλγόριθμο:
- του Newton
- του Ευκλείδη
- του Θαλή
- του Πυθαγόρα
Δες την απάντηση
Σωστό: του Ευκλείδη. Διαδοχικές διαιρέσεις.
Αν α | βγ και ΜΚΔ(α, β) = 1, τότε:
- α = 1
- α | β
- α | γ
- β | γ
Δες την απάντηση
Σωστό: α | γ. Βασικό θεώρημα (Ευκλείδη).
Ο ΜΚΔ(17, 25) είναι:
- 1
- 17
- 25
- 5
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. Δεν έχουν κοινό διαιρέτη εκτός του 1.
Αν ΜΚΔ(α, β) = 4 και α·β = 96, τότε ΕΚΠ(α, β) =
- 24
- 384
- 4
- 92
Δες την απάντηση
Σωστό: 24. 96/4 = 24.
Ο ΜΚΔ(α, 0), για α ≠ 0, είναι:
- 0
- 1
- |α|
- δεν ορίζεται
Δες την απάντηση
Σωστό: |α|. Κάθε αριθμός διαιρεί το 0.

Σωστό ή Λάθος

ΜΚΔ(α, β) · ΕΚΠ(α, β) = α + β.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει ΜΚΔ · ΕΚΠ = |α · β|.
Ο ΜΚΔ(α, β) γράφεται ως κα + λβ για κάποιους ακέραιους κ, λ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ιδιότητα του ΜΚΔ (Bézout).
Αν ΜΚΔ(α, β) = 1, τότε οι α και β είναι πρώτοι αριθμοί.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι πρώτοι μεταξύ τους, όχι κατ’ ανάγκη πρώτοι (π.χ. 8 και 9).
ΜΚΔ(α, β) = ΜΚΔ(β, υ), όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το β.
Δες την απάντηση
Σωστό. Βάση του αλγορίθμου του Ευκλείδη.
Αν α | βγ και ΜΚΔ(α, β) = 1, τότε α | β.
Δες την απάντηση
Λάθος. Τότε α | γ.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.