4.7 Ισοϋπόλοιποι αριθμοί (ισοτιμίες)

Μάθημα 4.7 Ισοϋπόλοιποι αριθμοί (ισοτιμίες) της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Θεωρία αριθμών». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Ισοϋπόλοιποι αριθμοί (ισοτιμίες)

Υπόλοιπο μεγάλης δύναμης

Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 9⁸¹ με το 10.

Υποδείξεις

Βρες μια μικρή δύναμη του 9 που είναι ≡ 1 ή ≡ ±1 (mod 10).
Σπάσε τον εκθέτη με τη βοήθεια αυτής της περιόδου.

Λύση και απάντηση

Υπολογίζουμε δυνάμεις mod 10: 9¹ ≡ 9, 9² ≡ 1, 9³ ≡ 9, 9⁴ ≡ 1, 9⁵ ≡ 9, 9⁶ ≡ 1…
Άρα 9⁸¹ ≡ 9 (mod 10).

Απάντηση: 9

Τελευταίο ψηφίο

Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του 17⁹⁴;

Υποδείξεις

Τελευταίο ψηφίο = υπόλοιπο mod 10.
Τα τελευταία ψηφία των δυνάμεων επαναλαμβάνονται με περίοδο που διαιρεί το 4.

Λύση και απάντηση

Τελευταία ψηφία: 7, 9, 3, 1, 7…
Για ν = 94 (ν mod 4 = 2): 9.

Απάντηση: 9

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Υπόλοιπο μεγάλης δύναμης · Τελευταίο ψηφίο · Επίλυση ισοτιμίας.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Λέμε α ≡ β (mod m) όταν:
- m | (α + β)
- m | (α − β)
- α = β·m
- α·β = m
Δες την απάντηση
Σωστό: m | (α − β). Ορισμός της ισοτιμίας.
Ισοδύναμα, α ≡ β (mod m) σημαίνει ότι οι α, β:
- έχουν άθροισμα m
- αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο στη διαίρεση με m
- είναι ίσοι
- είναι πρώτοι μεταξύ τους
Δες την απάντηση
Σωστό: αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο στη διαίρεση με m. Ισοϋπόλοιποι.
Ισχύει 17 ≡ ? (mod 5):
- 2
- 3
- 4
- 5
Δες την απάντηση
Σωστό: 2. 17 = 3·5 + 2.
Αν α ≡ β και γ ≡ δ (mod m), τότε:
- α + γ ≡ β + δ (mod m)
- α + γ ≡ β − δ (mod m)
- α ≡ δ (mod m)
- αγ ≡ β + δ (mod m)
Δες την απάντηση
Σωστό: α + γ ≡ β + δ (mod m). Πρόσθεση κατά μέλη.
Αν α ≡ β (mod m), τότε για κάθε ν ≥ 1:
- α ≡ β^ν (mod m)
- α^ν ≡ 0 (mod m)
- α^ν ≡ β (mod m)
- α^ν ≡ β^ν (mod m)
Δες την απάντηση
Σωστό: α^ν ≡ β^ν (mod m). Πολλαπλασιασμός κατά μέλη ν φορές.
Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 2^10 με το 3 είναι:
- 0
- 1
- 10
- 2
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. 2 ≡ −1 (mod 3), άρα 2^10 ≡ 1.
Το τελευταίο ψηφίο του 7^4 είναι:
- 1
- 3
- 7
- 9
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. 7² = 49 ≡ 9, 7^4 ≡ 81 ≡ 1 (mod 10).
Αν α ≡ 3 (mod 5), τότε 2α + 1 ≡
- 0 (mod 5)
- 1 (mod 5)
- 2 (mod 5)
- 3 (mod 5)
Δες την απάντηση
Σωστό: 2 (mod 5). 2·3 + 1 = 7 ≡ 2.
Ισχύει 10 ≡ 1 (mod 9), άρα κάθε φυσικός αριθμός είναι ισοϋπόλοιπος mod 9 με:
- το 0
- το άθροισμα των ψηφίων του
- το πρώτο ψηφίο του
- το τελευταίο ψηφίο του
Δες την απάντηση
Σωστό: το άθροισμα των ψηφίων του. Κριτήριο διαιρετότητας με το 9.
Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 5^100 με το 4 είναι:
- 0
- 1
- 3
- 5
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. 5 ≡ 1 (mod 4).

Σωστό ή Λάθος

α ≡ β (mod μ) σημαίνει ότι α = β.
Δες την απάντηση
Λάθος. Σημαίνει ότι μ | (α − β), δηλαδή α, β δίνουν ίδιο υπόλοιπο με το μ.
Αν α ≡ β (mod μ), τότε α^ν ≡ β^ν (mod μ).
Δες την απάντηση
Σωστό. Οι ισοτιμίες «υψώνονται» σε δύναμη.
10^ν ≡ 0 (mod 9) για κάθε ν ≥ 1.
Δες την απάντηση
Λάθος. 10 ≡ 1 (mod 9), άρα 10^ν ≡ 1 (mod 9). Γι’ αυτό λειτουργεί το κριτήριο του 9.
Αν α ≡ β (mod μ) και γ ≡ δ (mod μ), τότε α + γ ≡ β + δ (mod μ).
Δες την απάντηση
Σωστό. Πρόσθεση ισοτιμιών.
Από 2x ≡ 2y (mod 4) έπεται x ≡ y (mod 4).
Δες την απάντηση
Λάθος. x = 0, y = 2: 0 ≡ 4 (mod 4) αλλά 0 ≢ 2 (mod 4). Η διαγραφή επιτρέπεται μόνο αν ο συντελεστής είναι πρώτος προς το μ.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Θεωρία αριθμών»