4.6 Γραμμική διοφαντική εξίσωση

Μάθημα 4.6 Γραμμική διοφαντική εξίσωση της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Θεωρία αριθμών». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Γραμμική διοφαντική εξίσωση

Έχει λύση η διοφαντική;

Έχει ακέραιες λύσεις η εξίσωση 14x + 24y = 13;

Όχι, γιατί ο ΜΚΔ(14, 24) = 2 δεν διαιρεί το 13
Ναι, γιατί ο ΜΚΔ(14, 24) = 2 διαιρεί το 13
Ναι, πάντα έχει λύσεις
Όχι, γιατί οι 14 και 24 δεν είναι πρώτοι

Υποδείξεις

αx + βy = γ έχει ακέραιες λύσεις ⇔ ΜΚΔ(α, β) | γ.

Λύση και απάντηση

ΜΚΔ(14, 24) = 2.
2 ∤ 13 ⇒ δεν έχει λύσεις.

Απάντηση: Όχι, γιατί ο ΜΚΔ(14, 24) = 2 δεν διαιρεί το 13

Πλήθος θετικών λύσεων

Πόσες λύσεις με x, y θετικούς ακεραίους έχει η εξίσωση 3x + 2y = 24;

Υποδείξεις

Βρες μια λύση (x₀, y₀) και γράψε τη γενική: x = x₀ + 2t, y = y₀ − 3t.
Βάλε x > 0 και y > 0 και μέτρα τα ακέραια t.

Λύση και απάντηση

Οι θετικές λύσεις είναι: (2, 9), (4, 6), (6, 3).
Πλήθος: 3.

Απάντηση: 3

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Έχει λύση η διοφαντική; · Πλήθος θετικών λύσεων · Γενική λύση: μικρότερο θετικό x.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η εξίσωση αx + βy = γ έχει ακέραιες λύσεις αν και μόνο αν:
- α = β
- ο γ είναι άρτιος
- ο γ είναι πρώτος
- ο δ = ΜΚΔ(α, β) διαιρεί τον γ
Δες την απάντηση
Σωστό: ο δ = ΜΚΔ(α, β) διαιρεί τον γ. Βασικό θεώρημα.
Η 4x + 6y = 7 έχει ακέραιες λύσεις;
- Άπειρες
- Όχι
- Μόνο μία
- Ναι
Δες την απάντηση
Σωστό: Όχι. ΜΚΔ(4, 6) = 2 και 2 ∤ 7.
Η 3x + 5y = 1 έχει ακέραιες λύσεις;
- Όχι
- Μόνο δύο
- Μόνο μία
- Ναι, άπειρες
Δες την απάντηση
Σωστό: Ναι, άπειρες. ΜΚΔ(3, 5) = 1, που διαιρεί το 1.
Αν (x₀, y₀) είναι μια λύση της αx + βy = γ με ΜΚΔ(α, β) = δ, τότε όλες οι λύσεις είναι:
- x = x₀ + (β/δ)t, y = y₀ − (α/δ)t, t ∈ ℤ
- x = x₀ + t, y = y₀ + t
- x = x₀t, y = y₀t
- μόνο η (x₀, y₀)
Δες την απάντηση
Σωστό: x = x₀ + (β/δ)t, y = y₀ − (α/δ)t, t ∈ ℤ. Γενική λύση.
Μια λύση της 3x + 5y = 1 είναι:
- (0, 1)
- (1, 1)
- (2, −1)
- (−2, 1)
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, −1). 6 − 5 = 1.
Η 2x + 4y = 6 έχει λύση:
- (0, 2)
- (1, 1)
- (2, 2)
- (3, 1)
Δες την απάντηση
Σωστό: (1, 1). 2 + 4 = 6.
Η εξίσωση 6x + 9y = 15 είναι ισοδύναμη με:
- 2x + 3y = 5
- 3x + 2y = 5
- 6x + 9y = 5
- x + y = 15
Δες την απάντηση
Σωστό: 2x + 3y = 5. Διαιρούμε με ΜΚΔ = 3.
Αν η αx + βy = γ (α, β ≠ 0) έχει μία ακέραια λύση, τότε έχει:
- άπειρες ακέραιες λύσεις
- δύο λύσεις
- μόνο αυτή
- πεπερασμένες λύσεις
Δες την απάντηση
Σωστό: άπειρες ακέραιες λύσεις. Από τον τύπο της γενικής λύσης.
Η 5x + 10y = 12 έχει ακέραιες λύσεις;
- Όχι
- Μόνο αρνητικές
- Μόνο θετικές
- Ναι
Δες την απάντηση
Σωστό: Όχι. ΜΚΔ = 5 και 5 ∤ 12.
Η γενική λύση της x + y = 3 είναι:
- x = 3, y = 0 μόνο
- x = 3t, y = −t
- x = t, y = 3 − t, t ∈ ℤ
- x = t, y = t
Δες την απάντηση
Σωστό: x = t, y = 3 − t, t ∈ ℤ. Για κάθε ακέραιο t.

Σωστό ή Λάθος

Η εξίσωση 4x + 6y = 9 έχει ακέραιες λύσεις.
Δες την απάντηση
Λάθος. ΜΚΔ(4, 6) = 2 και το 2 δεν διαιρεί το 9.
Η αx + βy = γ έχει ακέραιες λύσεις αν και μόνο αν ο ΜΚΔ(α, β) διαιρεί τον γ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Κριτήριο επιλυσιμότητας.
Αν η αx + βy = γ έχει μία ακέραια λύση, τότε έχει μόνο αυτήν.
Δες την απάντηση
Λάθος. Έχει άπειρες: x = x₀ + βδt, y = y₀ − αδt.
Η 3x + 5y = 1 έχει τη λύση (2, −1).
Δες την απάντηση
Σωστό. 6 − 5 = 1.
Η 2x + 4y = 7 έχει ακέραια λύση, αφού το 7 είναι περιττός.
Δες την απάντηση
Λάθος. ΜΚΔ(2, 4) = 2 δεν διαιρεί το 7.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.