3.2 Η παραβολή

Μάθημα 3.2 Η παραβολή της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Κωνικές τομές». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Η παραβολή

Εστία και διευθετούσα

Να βρείτε την εστία E(0, y₀) και τη διευθετούσα y = κ της παραβολής x² = −16y.

Υποδείξεις

x² = 2py: εστία E(0, p/2), διευθετούσα y = −p/2.

Λύση και απάντηση

p = −8.
E(0, −4), δ: y = 4.

Απάντηση: y₀ = −4 · κ = 4

Παραβολή από σημείο της

Η παραβολή y² = 2px διέρχεται από το Α(3, −1). Να βρείτε την τετμημένη της εστίας της.

Υποδείξεις

Βάλε το Α στην εξίσωση για να βρεις το p.
Εστία E(p/2, 0).

Λύση και απάντηση

1 = 2p·3 ⇒ p = 16.
x_E = p/2 = 112.

Απάντηση: 112

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Εστία και διευθετούσα · Παραβολή από σημείο της · Κλίση εφαπτομένης παραβολής.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Παραβολή λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που:
- έχουν σταθερή διαφορά αποστάσεων από δύο σημεία
- έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από δύο σημεία
- απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σημείο
- ισαπέχουν από σταθερό σημείο (εστία) και σταθερή ευθεία (διευθετούσα)
Δες την απάντηση
Σωστό: ισαπέχουν από σταθερό σημείο (εστία) και σταθερή ευθεία (διευθετούσα). Ορισμός της παραβολής.
Η παραβολή y² = 2px έχει εστία:
- (0, p/2)
- (2p, 0)
- (p, 0)
- (p/2, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: (p/2, 0). Ε(p/2, 0).
Η παραβολή y² = 2px έχει διευθετούσα:
- x = p/2
- x = −p
- x = −p/2
- y = −p/2
Δες την απάντηση
Σωστό: x = −p/2. Συμμετρική της εστίας ως προς την κορυφή.
Η παραβολή y² = 8x έχει εστία:
- (0, 2)
- (2, 0)
- (4, 0)
- (8, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, 0). 2p = 8, p/2 = 2.
Η παραβολή x² = 2py έχει άξονα συμμετρίας:
- κανέναν
- την y = x
- τον x′x
- τον y′y
Δες την απάντηση
Σωστό: τον y′y. Εστία (0, p/2).
Η εφαπτομένη της y² = 2px στο σημείο (x₁, y₁) είναι:
- xx₁ = p(y + y₁)
- y = px₁
- yy₁ = 2p(x + x₁)
- yy₁ = p(x + x₁)
Δες την απάντηση
Σωστό: yy₁ = p(x + x₁). Γνωστός τύπος.
Η εφαπτομένη της y² = 4x στο (1, 2) είναι:
- y = 2x
- y = 2x + 1
- y = x + 1
- y = x − 1
Δες την απάντηση
Σωστό: y = x + 1. 2y = 2(x + 1).
Η κορυφή της παραβολής y² = 2px είναι:
- η εστία
- το (0, 0)
- το (0, p)
- το (p, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: το (0, 0). Το σημείο της στον άξονά της.
Η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής λέει ότι οι ακτίνες παράλληλες στον άξονα:
- ανακλώνται και διέρχονται από την εστία
- ανακλώνται παράλληλα στη διευθετούσα
- δεν ανακλώνται
- διέρχονται από την κορυφή
Δες την απάντηση
Σωστό: ανακλώνται και διέρχονται από την εστία. Χρήση σε κάτοπτρα και κεραίες.
Αν σημείο Μ της παραβολής y² = 2px έχει τετμημένη x, τότε η απόστασή του από την εστία είναι:
- 2x
- x
- x + p/2
- x − p/2
Δες την απάντηση
Σωστό: x + p/2. Ίση με την απόσταση από τη διευθετούσα x = −p/2.

Σωστό ή Λάθος

Η παραβολή y² = 4x έχει εστία Ε(4, 0).
Δες την απάντηση
Λάθος. 2p = 4 ⇒ p = 2, άρα Ε(p2, 0) = Ε(1, 0).
Κάθε σημείο της παραβολής ισαπέχει από την εστία και τη διευθετούσα.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ορισμός της παραβολής.
Η παραβολή x² = −8y «ανοίγει» προς τα πάνω.
Δες την απάντηση
Λάθος. Με αρνητικό συντελεστή ανοίγει προς τα κάτω.
Η εφαπτομένη της y² = 2px στο σημείο (x₁, y₁) της είναι yy₁ = p(x + x₁).
Δες την απάντηση
Σωστό. Γνωστός τύπος.
Η διευθετούσα της y² = 2px διέρχεται από την εστία.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι η x = −p2, ενώ η εστία είναι το (p2, 0).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.