3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος

Μάθημα 3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος της Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, στην ενότητα «Συστήματα γραμμικών εξισώσεων». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 4 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος

Σύστημα με κλάσματα

Να λύσετε το σύστημα x2 + y3 = −1, x6 − y3 = 5.

Υποδείξεις

Πολλαπλασίασε κάθε εξίσωση με το ΕΚΠ των παρονομαστών της.
Μετά αντικατάσταση ή αντίθετοι συντελεστές.

Λύση και απάντηση

Μετά την απαλοιφή παρονομαστών λύνουμε: x = 6, y = −12.

Απάντηση: x = 6 · y = −12

Πρόβλημα με σύστημα

Σε ένα θέατρο πουλήθηκαν 31 εισιτήρια, κανονικά προς 13 € και φοιτητικά προς 4 €. Οι εισπράξεις ήταν 241 €. Πόσα κανονικά και πόσα φοιτητικά εισιτήρια πουλήθηκαν;

Υποδείξεις

x + y = 31, 13x + 4y = 241.

Λύση και απάντηση

Από την 1η y = 31 − x.
Αντικατάσταση: x = 13, y = 18.

Απάντηση: κανονικά = 13 · φοιτητικά = 18

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Σύστημα με κλάσματα · Πρόβλημα με σύστημα.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Λύση του συστήματος x + y = 7 και x − y = 1:
- (3, 4)
- (4, 3)
- (5, 2)
- (6, 1)
Δες την απάντηση
Σωστό: (4, 3). Προσθέτοντας: 2x = 8.
Λύση του συστήματος 2x + y = 8 και x = 3:
- (2, 3)
- (3, 1)
- (3, 2)
- (4, 0)
Δες την απάντηση
Σωστό: (3, 2). y = 8 − 6.
Η μέθοδος της αντικατάστασης:
- Διαιρούμε τις εξισώσεις
- Κάνουμε γραφική παράσταση
- Λύνουμε τη μία ως προς άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη
- Προσθέτουμε πάντα τις εξισώσεις
Δες την απάντηση
Σωστό: Λύνουμε τη μία ως προς άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη. Έτσι προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο.
Λύση του 3x + 2y = 12 και x + y = 5:
- (1, 4)
- (2, 3)
- (3, 2)
- (4, 1)
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, 3). Από y = 5 − x: 3x + 10 − 2x = 12.
Λύση του x − y = 2 και 2x + y = 7:
- (1, 3)
- (2, 0)
- (3, 1)
- (4, 2)
Δες την απάντηση
Σωστό: (3, 1). Προσθέτουμε: 3x = 9.
Λύση του 2x + 3y = 13 και 2x − y = 1:
- (1, 1)
- (2, 3)
- (3, 2)
- (4, 1)
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, 3). Αφαιρώντας: 4y = 12.
Το σύστημα x + y = 4 και x + y = 6 είναι:
- Έχει λύση (2, 2)
- Έχει λύση (5, 1)
- Αδύνατο
- Αόριστο
Δες την απάντηση
Σωστό: Αδύνατο. Αντιφάσκουν.
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 20 και διαφορά 4. Είναι:
- 10 και 10
- 12 και 8
- 14 και 6
- 16 και 4
Δες την απάντηση
Σωστό: 12 και 8. 12 + 8 = 20 και 12 − 8 = 4.
Σε μια αυλή υπάρχουν κότες και κουνέλια: 10 κεφάλια και 28 πόδια. Τα κουνέλια είναι:
- 10
- 14
- 4
- 6
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. x + y = 10, 2x + 4y = 28 ⇒ y = 4.
Για να απαλείψουμε το y στο 2x + y = 5 και x − y = 1 κάνουμε:
- Αφαίρεση κατά μέλη
- Διαίρεση
- Πολλαπλασιασμό κατά μέλη
- Πρόσθεση κατά μέλη
Δες την απάντηση
Σωστό: Πρόσθεση κατά μέλη. Οι συντελεστές +y και −y αντισταθμίζονται.

Σωστό ή Λάθος

Η μέθοδος αντικατάστασης δεν εφαρμόζεται σε κάθε σύστημα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Εφαρμόζεται πάντα.
Στη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών προσθέτουμε κατά μέλη για να φύγει ένας άγνωστος.
Δες την απάντηση
Σωστό. Περιγραφή μεθόδου.
Το σύστημα x + y = 3, 2x + 2y = 7 έχει άπειρες λύσεις.
Δες την απάντηση
Λάθος. 2x + 2y = 6 ≠ 7: αδύνατο.
Το σύστημα x − y = 1, x + y = 5 έχει λύση (3, 2).
Δες την απάντηση
Σωστό. 3 − 2 = 1, 3 + 2 = 5.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου στο YouTube.