2.4 Νόμος των ημιτόνων – Νόμος των συνημιτόνων

Μάθημα 2.4 Νόμος των ημιτόνων – Νόμος των συνημιτόνων της Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου, στην ενότητα «Τριγωνομετρία». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Νόμος των ημιτόνων – Νόμος των συνημιτόνων

Νόμος των ημιτόνων

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 8, Â = 30° και B̂ = 45°. Να βρείτε την πλευρά β.

Υποδείξεις

Νόμος ημιτόνων: αημΑ = βημΒ.

Λύση και απάντηση

β = α·ημΒημΑ = 8√2.

Απάντηση: 8√2

Νόμος των συνημιτόνων: γωνία από πλευρές

Τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές α = 13, β = 7, γ = 8. Πόσες μοίρες είναι η γωνία Â;

Υποδείξεις

συνΑ = β² + γ² − α²2βγ.

Λύση και απάντηση

συνΑ = (49 + 64 − 169)/(2·7·8) = −12.
Â = 120°.

Απάντηση: 120 °

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Νόμος των ημιτόνων · Νόμος των συνημιτόνων: γωνία από πλευρές · Νόμος των συνημιτόνων: πλευρά.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Ο νόμος των ημιτόνων είναι:
- α + β = γ
- αημΑ = βημΒ = γημΓ
- α² = β² + γ²
- α·ημΑ = β·ημΒ
Δες την απάντηση
Σωστό: αημΑ = βημΒ = γημΓ. Η αναλογία πλευρών-ημιτόνων.
Ο νόμος των συνημιτόνων είναι:
- α = β + γ − συνΑ
- α² = β² + γ²
- α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ
- α² = β² − γ²
Δες την απάντηση
Σωστό: α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ. Γενίκευση του Πυθαγορείου.
Αν Α = 90°, ο νόμος των συνημιτόνων γίνεται:
- α = β + γ
- α = βγ
- α² = β² + γ²
- α² = β² − γ²
Δες την απάντηση
Σωστό: α² = β² + γ². συν90° = 0.
Σε τρίγωνο Α = 30°, Β = 90°, α = 4. Η πλευρά β είναι:
- 2
- 4√3
- 6
- 8
Δες την απάντηση
Σωστό: 8. β/ημ90° = 4/ημ30° ⇒ β = 8.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ με β = 6, γ = 8 και Α = 60°, το α² είναι:
- 100
- 28
- 52
- 76
Δες την απάντηση
Σωστό: 52. 36 + 64 − 2·6·8·0,5 = 52.
Για να εφαρμόσουμε τον νόμο των ημιτόνων χρειαζόμαστε:
- Μια πλευρά και την απέναντι γωνία της
- Μόνο μια γωνία
- Μόνο το εμβαδόν
- Μόνο τρεις γωνίες
Δες την απάντηση
Σωστό: Μια πλευρά και την απέναντι γωνία της. Ζεύγος πλευράς-απέναντι γωνίας.
Ο νόμος των συνημιτόνων χρησιμεύει όταν γνωρίζουμε:
- Δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία
- Μόνο μία πλευρά
- Μόνο το εμβαδόν
- Μόνο τρεις γωνίες
Δες την απάντηση
Σωστό: Δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία. Μπορούμε να βρούμε την τρίτη πλευρά.
Στον νόμο των ημιτόνων, ο κοινός λόγος ισούται με:
- 2R (R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου)
- R
- R2
- R²
Δες την απάντηση
Σωστό: 2R (R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου). α/ημΑ = 2R.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ με α = 5, β = 5 και γ = 6, συνΓ =
- 12
- 35
- 45
- 725
Δες την απάντηση
Σωστό: 725. 36 = 25 + 25 − 50 συνΓ ⇒ συνΓ = 14/50.
Ο νόμος των συνημιτόνων για αμβλεία γωνία Α δίνει α² ... β² + γ²:
- Ίσο με
- Δεν συγκρίνεται
- Μεγαλύτερο από
- Μικρότερο από
Δες την απάντηση
Σωστό: Μεγαλύτερο από. Το συνΑ είναι αρνητικό.

Σωστό ή Λάθος

Ο νόμος των ημιτόνων: αημΒ = βημΑ.
Δες την απάντηση
Λάθος. Σωστά: αημΑ = βημΒ.
α² = β² + γ² − 2βγσυνΑ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Νόμος συνημιτόνων.
Αν Α = 90°, ο νόμος των συνημιτόνων δεν ισχύει.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει και γίνεται το Πυθαγόρειο (συν90° = 0).
Με τον νόμο των συνημιτόνων βρίσκουμε τις γωνίες τριγώνου από τις τρεις πλευρές.
Δες την απάντηση
Σωστό. συνΑ = β² + γ² − α²2βγ.
Σε τρίγωνο με α = 7, β = 5, γ = 3 η γωνία Α είναι οξεία.
Δες την απάντηση
Λάθος. 49 > 25 + 9 = 34: αμβλεία (Α = 120°).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου στο YouTube.