3.3 Συνδυαστική

Μάθημα 3.3 Συνδυαστική της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Πιθανότητες». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Συνδυαστική

Μεταθέσεις με περιορισμό

Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 6 άτομα σε μια σειρά 6 θέσεων, αν δύο συγκεκριμένα άτομα θέλουν να κάθονται δίπλα-δίπλα;

Υποδείξεις

Θεώρησε τα δύο άτομα ως ένα «μπλοκ».
Το μπλοκ και τα άλλα 4 άτομα: 5! τρόποι· μέσα στο μπλοκ 2 τρόποι.

Λύση και απάντηση

(5)! = 120 διατάξεις των 5 «μονάδων».
Επί 2 για τη σειρά μέσα στο μπλοκ: 240.

Απάντηση: 240

Επιτροπή με τουλάχιστον μία γυναίκα

Από 4 άνδρες και 6 γυναίκες θέλουμε να σχηματίσουμε επιτροπή 3 ατόμων με τουλάχιστον μία γυναίκα. Πόσες επιτροπές υπάρχουν;

Υποδείξεις

Πιο εύκολα με το συμπλήρωμα: όλες οι επιτροπές μείον όσες έχουν μόνο άνδρες.
Συνδυασμοί: C(ν, κ) = ν!κ!(ν − κ)!.

Λύση και απάντηση

Όλες: C(10, 3) = 120.
Μόνο άνδρες: C(4, 3) = 4.
Ζητούμενο: 116.

Απάντηση: 116

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Μεταθέσεις με περιορισμό · Επιτροπή με τουλάχιστον μία γυναίκα · Πιθανότητα με συνδυασμούς.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Το 5! ισούται με:
- 120
- 20
- 25
- 60
Δες την απάντηση
Σωστό: 120. 5·4·3·2·1.
Οι μεταθέσεις ν διαφορετικών αντικειμένων είναι:
- 2ν
- ν
- ν!
- ν²
Δες την απάντηση
Σωστό: ν!. Όλες οι διατάξεις όλων των αντικειμένων.
Με πόσους τρόπους κάθονται 4 άτομα σε 4 θέσεις στη σειρά;
- 12
- 16
- 24
- 4
Δες την απάντηση
Σωστό: 24. 4! = 24.
Οι διατάξεις των ν ανά κ είναι:
- ν!/(κ!(ν − κ)!)
- ν!/(ν − κ)!
- ν^κ
- νκ
Δες την απάντηση
Σωστό: ν!/(ν − κ)!. Η σειρά μετράει.
Οι συνδυασμοί των ν ανά κ είναι:
- κ!
- ν!
- ν!/(κ!(ν − κ)!)
- ν!/(ν − κ)!
Δες την απάντηση
Σωστό: ν!/(κ!(ν − κ)!). Η σειρά δεν μετράει.
Με πόσους τρόπους διαλέγουμε 2 άτομα από 5 για επιτροπή;
- 10
- 20
- 25
- 5
Δες την απάντηση
Σωστό: 10. 5!/(2!·3!) = 10.
Με πόσους τρόπους εκλέγουμε πρόεδρο και γραμματέα από 5 άτομα;
- 10
- 20
- 25
- 5
Δες την απάντηση
Σωστό: 20. Διατάξεις: 5·4.
Ο βασικός κανόνας της απαρίθμησης λέει ότι αν μια επιλογή γίνεται με μ τρόπους και μια δεύτερη με ν τρόπους, τότε οι δύο μαζί γίνονται με:
- μ + ν τρόπους
- μ − ν τρόπους
- μ^ν τρόπους
- μ·ν τρόπους
Δες την απάντηση
Σωστό: μ·ν τρόπους. Πολλαπλασιαστική αρχή.
Το 0! ορίζεται ίσο με:
- 0
- 1
- δεν ορίζεται
- −1
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. Σύμβαση.
Με πόσους τρόπους ντύνεται κάποιος με 3 μπλούζες και 4 παντελόνια;
- 12
- 3
- 4
- 7
Δες την απάντηση
Σωστό: 12. 3·4.

Σωστό ή Λάθος

Ο αριθμός των τρόπων να μπουν 4 μαθητές σε μια σειρά είναι 4 · 4 = 16.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι 4! = 24.
0! = 1.
Δες την απάντηση
Σωστό. Σύμβαση που κάνει τους τύπους να λειτουργούν.
Ο αριθμός των τρόπων να επιλέξουμε 2 από 5 άτομα (χωρίς σειρά) είναι 20.
Δες την απάντηση
Λάθος. Χωρίς σειρά: 5 · 42 = 10. Το 20 μετρά τις διατάξεις.
Οι διατάξεις των ν ανά κ είναι περισσότερες ή ίσες από τους συνδυασμούς των ν ανά κ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Κάθε συνδυασμός αντιστοιχεί σε κ! διατάξεις.
Με 3 μπλούζες και 2 παντελόνια φτιάχνουμε 5 διαφορετικούς συνδυασμούς ντυσίματος.
Δες την απάντηση
Λάθος. Από την πολλαπλασιαστική αρχή: 3 · 2 = 6.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου στο YouTube.