3.4 Δεσμευμένη πιθανότητα – Ανεξάρτητα ενδεχόμενα

Μάθημα 3.4 Δεσμευμένη πιθανότητα – Ανεξάρτητα ενδεχόμενα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Πιθανότητες». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Δεσμευμένη πιθανότητα – Ανεξάρτητα ενδεχόμενα

Δεσμευμένη πιθανότητα από πίνακα

Σε ένα σχολείο:

	Αγόρια	Κορίτσια
Παίζουν μπάσκετ	17	8
Δεν παίζουν	11	18

Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Αν ξέρουμε ότι παίζει μπάσκετ, ποια η πιθανότητα να είναι κορίτσι;

Υποδείξεις

P(Κ | Μ) = P(Κ ∩ Μ)P(Μ).
Αρκεί να μετρήσεις μέσα στη γραμμή «Παίζουν μπάσκετ».

Λύση και απάντηση

Παίζουν μπάσκετ: 25, από τους οποίους κορίτσια 8.
P = 825.

Απάντηση: 825

Ανεξάρτητα ενδεχόμενα

Τα A, B είναι ανεξάρτητα με P(A) = 0,6 και P(B) = 0,4. Να βρείτε το P(A ∪ B).

Υποδείξεις

Ανεξάρτητα ⇒ P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Λύση και απάντηση

P(A ∩ B) = 0,6·0,4 = 0,24.
P(A ∪ B) = 0,76.

Απάντηση: 0,76

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Δεσμευμένη πιθανότητα από πίνακα · Ανεξάρτητα ενδεχόμενα · Ολική πιθανότητα – Bayes.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η δεσμευμένη πιθανότητα P(Α|Β), με P(Β) > 0, είναι:
- P(Α ∩ Β)/P(Α)
- P(Α ∩ Β)/P(Β)
- P(Α)/P(Β)
- P(Α)·P(Β)
Δες την απάντηση
Σωστό: P(Α ∩ Β)/P(Β). Ορισμός.
Τα Α και Β είναι ανεξάρτητα όταν:
- P(Α ∩ Β) = 0
- P(Α ∩ Β) = P(Α)·P(Β)
- P(Α ∪ Β) = 1
- P(Α) = P(Β)
Δες την απάντηση
Σωστό: P(Α ∩ Β) = P(Α)·P(Β). Ορισμός ανεξαρτησίας.
Αν τα Α, Β είναι ανεξάρτητα με P(Α) = 0,5 και P(Β) = 0,4, τότε P(Α ∩ Β) =
- 0,1
- 0,2
- 0,45
- 0,9
Δες την απάντηση
Σωστό: 0,2. 0,5·0,4.
Η πιθανότητα να φέρουμε δύο φορές 6 σε δύο ρίψεις ζαριού είναι:
- 1/12
- 1/36
- 1/6
- 2/6
Δες την απάντηση
Σωστό: 1/36. (1/6)·(1/6).
Αν τα Α, Β είναι ανεξάρτητα, τότε P(Α|Β) =
- 0
- 1
- P(Α)
- P(Β)
Δες την απάντηση
Σωστό: P(Α). Η γνώση του Β δεν αλλάζει την πιθανότητα του Α.
Ο πολλαπλασιαστικός νόμος δίνει P(Α ∩ Β) =
- P(Α) + P(Β)
- P(Α)/P(Β)
- P(Α|Β)
- P(Β)·P(Α|Β)
Δες την απάντηση
Σωστό: P(Β)·P(Α|Β). Από τον ορισμό της δεσμευμένης.
Αν P(Α ∩ Β) = 0,12 και P(Β) = 0,4, τότε P(Α|Β) =
- 0,048
- 0,28
- 0,3
- 0,52
Δες την απάντηση
Σωστό: 0,3. 0,12/0,4.
Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα με θετικές πιθανότητες είναι:
- ίσα
- ανεξάρτητα
- εξαρτημένα
- συμπληρωματικά πάντα
Δες την απάντηση
Σωστό: εξαρτημένα. P(Α ∩ Β) = 0 ≠ P(Α)P(Β).
Η πιθανότητα να φέρουμε τουλάχιστον μία κεφαλή σε δύο ρίψεις νομίσματος είναι:
- 1
- 1/2
- 1/4
- 3/4
Δες την απάντηση
Σωστό: 3/4. 1 − P(καμία κεφαλή) = 1 − 1/4.
Αν τα Α, Β είναι ανεξάρτητα, τότε και τα Α′, Β′ είναι:
- ίσα
- ανεξάρτητα
- ασυμβίβαστα
- εξαρτημένα
Δες την απάντηση
Σωστό: ανεξάρτητα. Η ανεξαρτησία μεταφέρεται στα συμπληρώματα.

Σωστό ή Λάθος

Αν τα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε είναι και ασυμβίβαστα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Αν P(Α), P(Β) > 0, ανεξάρτητα σημαίνει P(Α ∩ Β) = P(Α)P(Β) > 0, άρα δεν είναι ασυμβίβαστα.
Αν τα Α, Β είναι ανεξάρτητα, τότε P(Α ∩ Β) = P(Α) · P(Β).
Δες την απάντηση
Σωστό. Ορισμός της ανεξαρτησίας.
P(Α | Β) = P(Β | Α) για οποιαδήποτε ενδεχόμενα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Γενικά διαφέρουν. Π.χ. P(πυρετός | γρίπη) ≠ P(γρίπη | πυρετός).
P(Α | Β) = P(Α ∩ Β)P(Β) με P(Β) > 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ορισμός δεσμευμένης πιθανότητας.
Αν τα Α, Β είναι ανεξάρτητα, τότε τα Α′, Β′ δεν είναι ανεξάρτητα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι κι αυτά ανεξάρτητα.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου στο YouTube.