Μαθηματικοί διαγωνισμοί: Α΄ – Β΄ Γυμνασίου

• Γράψε τον αριθμό ως 10α + β, όπου α το ψηφίο των δεκάδων και β των μονάδων.

Θέλουμε 10α + β = 4(α + β), δηλαδή 10α + β = 4α + 4β.

Άρα 6α = 3β, δηλαδή β = 2α.

Το β είναι ψηφίο (≤ 9) και α ≥ 1, άρα α = 1, 2, 3, 4.

Οι αριθμοί είναι 12, 24, 36, 48 (π.χ. 36 = 4 · 9 ✔).

Απάντηση: 12, 24, 36, 48

• Σε πέντε αριθμούς που απέχουν ίσα μεταξύ τους, ο μέσος όρος είναι ο μεσαίος.

Οι αριθμοί είναι x − 4, x − 2, x, x + 2, x + 4 με άθροισμα 5x.

Ο μέσος όρος είναι x = 37.

Ο μικρότερος είναι 37 − 4 = 33.

Απάντηση: 33

• Ονόμασε x τη γωνία B̂ και γράψε τις άλλες δύο με το x.

B̂ = x, Â = x + 20°, Γ̂ = 2x.

x + 20° + x + 2x = 180° ⇒ 4x = 160° ⇒ x = 40°.

Άρα Â = 60°, B̂ = 40°, Γ̂ = 80°.

Όλες οι γωνίες είναι οξείες και διαφορετικές: το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και σκαληνό.

Απάντηση: 60°, 40°, 80° — οξυγώνιο σκαληνό

• Το πρώτο ψηφίο είναι τουλάχιστον 1. Χώρισε τις περιπτώσεις ανάλογα με το πρώτο ψηφίο.

Πρώτο ψηφίο 3: τα άλλα τρία 0 → 3000 (1 αριθμός).

Πρώτο ψηφίο 2: τα άλλα τρία έχουν άθροισμα 1, άρα ένα 1 σε μία από 3 θέσεις → 3 αριθμοί.

Πρώτο ψηφίο 1: τα άλλα έχουν άθροισμα 2: είτε ένα 2 (3 θέσεις) είτε δύο 1 (3 τρόποι) → 6 αριθμοί.

Σύνολο 1 + 3 + 6 = 10.

Απάντηση: 10

• Γράψε τα τελευταία ψηφία των 3¹, 3², 3³, 3⁴, 3⁵, … Τι παρατηρείς;

Τα τελευταία ψηφία των δυνάμεων του 3 είναι 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … επαναλαμβάνονται ανά 4.

2026 = 4 · 506 + 2, άρα το 3²⁰²⁶ έχει το ίδιο τελευταίο ψηφίο με το 3².

Το τελευταίο ψηφίο είναι 9.

Απάντηση: 9

• Η μέση ταχύτητα είναι συνολική απόσταση : συνολικός χρόνος, όχι ο μέσος όρος των ταχυτήτων. Δοκίμασε απόσταση 60 km.

Έστω ότι η απόσταση AB είναι 60 km.

Η μετάβαση διαρκεί 60 : 20 = 3 ώρες και η επιστροφή 60 : 30 = 2 ώρες.

Συνολικά 120 km σε 5 ώρες: μέση ταχύτητα 120 : 5 = 24 km/h.

Το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την απόσταση που διαλέξαμε (δοκίμασε κι άλλη!).

Απάντηση: 24 km/h

• Έλεγξε ότι 12 · 3 = 12 − 13. Ισχύει κάτι ανάλογο για κάθε όρο;

Για κάθε ν ισχύει 1ν(ν + 1) = 1ν − 1ν + 1.

Το άθροισμα γίνεται (1 − 12) + (12 − 13) + … + (19 − 110).

Όλοι οι ενδιάμεσοι όροι διαγράφονται και μένει 1 − 110 = 910.

Απάντηση: 910

• Ποια είναι η βάση και ποιο το ύψος του τριγώνου ABE;

Παίρνουμε βάση την AB = 12 cm.

Το ύψος από το E προς την AB είναι η απόσταση των παράλληλων πλευρών AB και ΓΔ, δηλαδή 8 cm, όπου κι αν είναι το E.

Εμβαδόν = 12 · 82 = 48 cm², πάντα το μισό του ορθογωνίου.

Απάντηση: 48 cm², για κάθε θέση του E

• Δοκίμασε με αρχικό αριθμό 100.

Το 100 γίνεται 125.

Για να ξαναγίνει 100 πρέπει να μειωθεί κατά 25, δηλαδή κατά 25125 = 15 = 20% του 125.

Απάντηση: 20%

• Για δύο αριθμούς ισχύει: Μ.Κ.Δ. · Ε.Κ.Π. = γινόμενο των αριθμών.
• Γράψε τους αριθμούς ως 12α και 12β με α, β πρώτους μεταξύ τους.

α) Ο άλλος αριθμός είναι 12 · 18036 = 60.

β) Οι αριθμοί είναι 12α και 12β, με α, β χωρίς κοινό διαιρέτη (εκτός από το 1).

Το Ε.Κ.Π. τους είναι 12αβ = 180, άρα αβ = 15.

Τα ζεύγη (α, β) πρώτων μεταξύ τους με γινόμενο 15 είναι (1, 15) και (3, 5).

Άρα τα ζεύγη αριθμών είναι (12, 180) και (36, 60).

Απάντηση: α) 60 β) (12, 180) και (36, 60)

• Το ύψος προς τη βάση ισοσκελούς τριγώνου τη χωρίζει σε δύο ίσα κομμάτια.

Αν κάθε ίση πλευρά είναι x, η βάση είναι x − 4: x + x + x − 4 = 32 ⇒ x = 12.

Οι πλευρές είναι 12, 12 και 8 cm.

Το ύψος προς τη βάση: υ² = 12² − 4² = 128, άρα υ = √128 = 8√2 cm.

Εμβαδόν = 8 · 8√22 = 32√2 cm² (περίπου 45,25 cm²).

Απάντηση: 12, 12, 8 cm· εμβαδόν 32√2 cm²

• Μέτρησε πόσοι διαιρούνται με το 2, πόσοι με το 3 και πόσοι και με τα δύο (με το 6).

Με το 2 διαιρούνται 50 αριθμοί, με το 3 διαιρούνται 33, και με τα δύο (δηλαδή με το 6) 16.

Με το 2 ή με το 3 διαιρούνται 50 + 33 − 16 = 67.

Άρα δεν διαιρούνται με κανένα 100 − 67 = 33 αριθμοί.

Απάντηση: 33