Μαθηματικοί διαγωνισμοί: Β΄ – Γ΄ Λυκείου

• Υπολόγισε τα υπόλοιπα των 7², 7³, … με το 13 μέχρι να βρεις δύναμη ≡ 1 ή ≡ −1.

7² = 49 ≡ 10 ≡ −3 (mod 13), άρα 7⁶ = (7²)³ ≡ (−3)³ = −27 ≡ −1 (mod 13).

Επομένως 7¹² ≡ 1 (mod 13).

100 = 12 · 8 + 4, άρα 7¹⁰⁰ ≡ 7⁴ = (7²)² ≡ (−3)² = 9 (mod 13).

Απάντηση: 9

• x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y).

Με S = x + y = 5 και P = xy: x³ + y³ = S³ − 3PS = 125 − 15P = 35 ⇒ P = 6.

Οι x, y είναι ρίζες της t² − 5t + 6 = 0, δηλαδή 2 και 3.

Λύσεις: (x, y) = (2, 3) ή (3, 2).

Απάντηση: (2, 3), (3, 2)

• α) Ανάλυσε το 2026 σε πρώτους παράγοντες (έλεγξε αν το 1013 είναι πρώτος).
• β) Ένας διαιρέτης 2^a · 3^b είναι τέλειο τετράγωνο όταν οι εκθέτες a, b είναι άρτιοι.

α) 2026 = 2 · 1013. Το 1013 δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο ≤ 31 (√1013 < 32), άρα είναι πρώτος.

Οι διαιρέτες είναι 1, 2, 1013, 2026: τέσσερις.

β) Οι διαιρέτες είναι 2^a · 3^b με 0 ≤ a ≤ 10, 0 ≤ b ≤ 4. Για τέλειο τετράγωνο: a ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10} (6 επιλογές), b ∈ {0, 2, 4} (3 επιλογές).

Σύνολο 6 · 3 = 18.

Απάντηση: α) 4 β) 18

• Γράψε το ημx + συνx στη μορφή ρ · ημ(x + φ).

ημx + συνx = √2(√22ημx + √22συνx) = √2ημ(x + π4).

Η εξίσωση γίνεται ημ(x + π4) = 1 ⇒ x + π4 = π2 + 2κπ ⇒ x = π4 + 2κπ.

Στο [0, 2π) η μόνη λύση είναι x = π4.

Απάντηση: x = π4

• Είναι άθροισμα γεωμετρικής προόδου. Ή: ομαδοποίησε τους όρους ανά δύο.

Ομαδοποιούμε ανά δύο: (1 + 2) + 2²(1 + 2) + 2⁴(1 + 2) + … + 2⁹⁸(1 + 2).

Οι 100 όροι σχηματίζουν 50 ζεύγη, και κάθε ζεύγος ισούται με 3 · 2^2κ.

Άρα το άθροισμα είναι 3(1 + 2² + … + 2⁹⁸), πολλαπλάσιο του 3. (Ισοδύναμα: ισούται με 2¹⁰⁰ − 1 = 4⁵⁰ − 1, και 4 ≡ 1 mod 3.)

• αημx + βσυνx = ρημ(x + φ) με ρ = √α² + β².

ρ = √9 + 16 = 5. Υπάρχει φ με συνφ = 35, ημφ = 45 ώστε f(x) = 5ημ(x + φ).

Η μέγιστη τιμή είναι 5.

f(x) = 5 ⇔ ημ(x + φ) = 1 ⇔ x = π2 − φ + 2κπ, κ ∈ ℤ.

Ισοδύναμα: x = θ + 2κπ, όπου θ η οξεία γωνία με ημθ = 35, συνθ = 45 (εφθ = 34). Έλεγχος: 3 · 35 + 4 · 45 = 5 ✔.

Απάντηση: Μέγιστη τιμή 5· x = θ + 2κπ με εφθ = 34 (θ οξεία)

• Δοκίμασε τα ποσά από 20 έως 30. Αν βρεις 5 διαδοχικά ποσά που σχηματίζονται, τι συμβαίνει με όλα τα επόμενα;

Το 23 δεν σχηματίζεται: 23 − 7κ για κ = 0, 1, 2, 3 δίνει 23, 16, 9, 2, κανένα πολλαπλάσιο του 5.

Σχηματίζονται τα 24 = 10 + 14, 25 = 5 · 5, 26 = 5 + 21, 27 = 20 + 7, 28 = 4 · 7.

Αφού σχηματίζονται 5 διαδοχικά ποσά, προσθέτοντας γραμματόσημα των 5 λεπτών σχηματίζεται κάθε μεγαλύτερο ποσό.

Άρα το μεγαλύτερο μη σχηματίσιμο ποσό είναι 23 λεπτά (γενικά: αβ − α − β για α, β πρώτους μεταξύ τους).

Απάντηση: 23 λεπτά

• Το υπόλοιπο έχει βαθμό το πολύ 1: υ(x) = κx + λ. Χρησιμοποίησε το θεώρημα υπολοίπου.

P(x) = (x − 1)(x + 2)π(x) + κx + λ.

P(1) = 3 ⇒ κ + λ = 3 και P(−2) = −3 ⇒ −2κ + λ = −3.

Αφαιρώντας: 3κ = 6 ⇒ κ = 2, λ = 1.

Το υπόλοιπο είναι 2x + 1.

Απάντηση: 2x + 1

• Θεώρησε τη g(x) = e^x + x − 3. Εφάρμοσε Bolzano στο [0, 1] και μελέτησε τη μονοτονία της.

Η g(x) = e^x + x − 3 είναι συνεχής στο ℝ.

g(0) = 1 − 3 = −2 < 0 και g(1) = e − 2 > 0, άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ρίζα στο (0, 1).

g′(x) = e^x + 1 > 0, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα και έχει το πολύ μία ρίζα.

Επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα, που βρίσκεται στο (0, 1).

• Είναι μορφή 00: εφάρμοσε τον κανόνα de l'Hospital (ίσως δύο φορές).

Μορφή 00. Με de l'Hospital: lim_x→0 e^x − 12x, πάλι μορφή 00.

Ξανά de l'Hospital: lim_x→0 e^x2 = 12.

Απάντηση: 12

• Υπολόγισε τους πρώτους όρους: 1, 3, 7, 15, … Πόσο απέχουν από δυνάμεις του 2;

Οι πρώτοι όροι είναι 1, 3, 7, 15, 31, που υποδεικνύουν α_ν = 2^ν − 1.

Για ν = 1: 2¹ − 1 = 1 = α₁ ✔.

Αν α_κ = 2^κ − 1, τότε α_κ+1 = 2(2^κ − 1) + 1 = 2^κ+1 − 1 ✔.

Άρα α_ν = 2^ν − 1 για κάθε ν ≥ 1.

Απάντηση: α_ν = 2^ν − 1

• Βρες πρώτα τα σημεία τομής και ποια γραμμή είναι «πάνω» ανάμεσά τους.

Τομή: x² − 2x = x ⇒ x(x − 3) = 0 ⇒ x = 0 ή x = 3.

Στο (0, 3) ισχύει x − (x² − 2x) = 3x − x² > 0, άρα η ευθεία είναι πάνω από την παραβολή.

E = ∫₀³(3x − x²)dx = [3x²2 − x³3]₀³ = 272 − 9 = 92.

Απάντηση: 92