Μαθηματικοί διαγωνισμοί: Γ΄ Γυμνασίου

• Ύψωσε τη σχέση στο τετράγωνο. Για τους κύβους χρησιμοποίησε την ταυτότητα (α + β)³.

(x + 1x)² = x² + 2 + 1x² = 16, άρα x² + 1x² = 14.

(x + 1x)³ = x³ + 1x³ + 3(x + 1x), άρα 64 = x³ + 1x³ + 12.

Επομένως x³ + 1x³ = 52.

Απάντηση: 14 και 52

• Παραγοντοποίησε το ν³ − ν. Τι είδους αριθμοί εμφανίζονται;

ν³ − ν = ν(ν² − 1) = (ν − 1)ν(ν + 1): γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων.

Ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς ένας είναι άρτιος, άρα το γινόμενο διαιρείται με το 2.

Ανάμεσα σε τρεις διαδοχικούς ένας διαιρείται με το 3, άρα το γινόμενο διαιρείται με το 3.

Αφού διαιρείται με το 2 και με το 3, διαιρείται με το 6.

• Το Δ ισαπέχει από τις πλευρές AB και AΓ (είναι πάνω στη διχοτόμο). Σύγκρινε τα εμβαδά των τριγώνων ABΔ και AΔΓ με δύο τρόπους.

BΓ = √36 + 64 = 10.

Αν δ η απόσταση του Δ από τις AB, AΓ: (ABΔ) = 6δ2 και (AΔΓ) = 8δ2, άρα (ABΔ)(AΔΓ) = 68 = 34.

Τα ίδια τρίγωνα έχουν και κοινό ύψος από το A προς τη BΓ, άρα (ABΔ)(AΔΓ) = BΔΔΓ.

Άρα BΔΔΓ = 34 με BΔ + ΔΓ = 10: BΔ = 307 και ΔΓ = 407.

Απάντηση: BΔ = 307, ΔΓ = 407

• Θέσε y = x² − 5x.

Με y = x² − 5x η εξίσωση γίνεται y² − 2y − 24 = 0, δηλαδή (y − 6)(y + 4) = 0.

y = 6: x² − 5x − 6 = 0 ⇒ (x − 6)(x + 1) = 0 ⇒ x = 6 ή x = −1.

y = −4: x² − 5x + 4 = 0 ⇒ (x − 1)(x − 4) = 0 ⇒ x = 1 ή x = 4.

Απάντηση: x = −1, 1, 4, 6

• x² − y² = (x − y)(x + y). Ποια ζεύγη ακεραίων έχουν γινόμενο 15;

(x − y)(x + y) = 15, άρα τα x − y και x + y είναι ακέραιοι με γινόμενο 15: (1, 15), (3, 5), (5, 3), (15, 1) και τα αντίθετα.

Από x − y = 1, x + y = 15: x = 8, y = 7. Από x − y = 3, x + y = 5: x = 4, y = 1.

Οι υπόλοιπες περιπτώσεις δίνουν τα ίδια με αλλαγές προσήμων.

Λύσεις: (±8, ±7) και (±4, ±1), με όλους τους συνδυασμούς προσήμων: 8 ζεύγη.

Απάντηση: (±8, ±7), (±4, ±1)

• α² − β² = (α − β)(α + β). Μπορείς να βρεις το α − β από τα δεδομένα;

(α − β)² = (α + β)² − 4αβ = 100 − 84 = 16, άρα |α − β| = 4.

Η θετική διαφορά των τετραγώνων είναι |α − β| · (α + β) = 4 · 10 = 40.

(Πράγματι οι αριθμοί είναι 7 και 3: 49 − 9 = 40.)

Απάντηση: 40

• Ονόμασε h το ζητούμενο ύψος και x την οριζόντια απόσταση του σημείου διασταύρωσης από τον πρώτο στύλο. Βρες όμοια τρίγωνα.

Έστω d η απόσταση των στύλων και x η οριζόντια απόσταση της διασταύρωσης από τον στύλο των 6 m.

Από το σχοινί που ξεκινά από την κορυφή του στύλου των 3 m (όμοια τρίγωνα): h3 = xd.

Από το σχοινί που ξεκινά από την κορυφή του στύλου των 6 m: h6 = d − xd.

Προσθέτοντας: h3 + h6 = 1 ⇒ h · 12 = 1 ⇒ h = 2 m.

Το d απαλείφθηκε: το ύψος είναι 2 m για οποιαδήποτε απόσταση.

Απάντηση: 2 m, ανεξάρτητα από την απόσταση

• Πότε ένα γινόμενο είναι περιττό; Είναι πιο εύκολο να μετρήσεις το αντίθετο ενδεχόμενο.

Υπάρχουν 6 · 6 = 36 ισοπίθανα αποτελέσματα.

Το γινόμενο είναι περιττό μόνο όταν και οι δύο ενδείξεις είναι περιττές: 3 · 3 = 9 περιπτώσεις.

Άρα P(άρτιο γινόμενο) = 1 − 936 = 2736 = 34.

Απάντηση: 34

• Χρησιμοποίησε τη διαφορά κύβων και τη διαφορά τετραγώνων.

x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4) και x² − 4 = (x − 2)(x + 2).

Για x ≠ ±2: x³ − 8x² − 4 = x² + 2x + 4x + 2.

Για x = 98: 9.604 + 196 + 4100 = 9.804100 = 98,04.

Απάντηση: x² + 2x + 4x + 2· τιμή 98,04

• Πολλαπλασίασε επί 2 και προσπάθησε να γράψεις τη διαφορά ως άθροισμα τετραγώνων.

Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με 2α² + 2β² + 2γ² − 2αβ − 2βγ − 2γα ≥ 0.

Το αριστερό μέλος ισούται με (α − β)² + (β − γ)² + (γ − α)², που είναι άθροισμα τετραγώνων, άρα ≥ 0.

Ισότητα έχουμε μόνο όταν όλα τα τετράγωνα είναι 0, δηλαδή α = β = γ.

Απάντηση: Ισότητα όταν α = β = γ

• Αν α, β οι πλευρές, ξέρεις το α + β και το α² + β². Τι σου λέει η ταυτότητα (α + β)²;

α + β = 17 και α² + β² = 13² = 169 (Πυθαγόρειο).

(α + β)² = α² + β² + 2αβ ⇒ 289 = 169 + 2αβ ⇒ αβ = 60.

Το εμβαδόν είναι αβ = 60 cm² (οι πλευρές είναι 5 και 12).

Απάντηση: 60 cm²

• Γράψε ένα σύστημα με αγνώστους την τιμή του τετραδίου t και του στυλό s.

3t + 2s = 7 και 2t + 5s = 7,6.

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη επί 5 και τη δεύτερη επί 2: 15t + 10s = 35 και 4t + 10s = 15,2.

Αφαιρώντας: 11t = 19,8 ⇒ t = 1,80 €, και από την πρώτη s = 7 − 5,42 = 0,80 €.

Μαζί κοστίζουν 2,60 €.

Απάντηση: 2,60 €