Μαθηματικοί διαγωνισμοί: Α΄ Λυκείου

Απόλυτες τιμές, άρρητες εξισώσεις, πρόοδοι, τύποι Vieta, ανισότητες και ευκλείδεια γεωμετρία με γωνίες και ισοσκελή τρίγωνα.

Τεχνικές που αξίζει να ξέρεις

Απόλυτα: χώρισε τον άξονα στις ρίζες των παραστάσεων μέσα στα απόλυτα και λύσε σε κάθε διάστημα.
Άρρητες εξισώσεις: μετά το τετράγωνο κάνε πάντα έλεγχο· μπορεί να εμφανιστούν ξένες λύσεις.
Vieta: για ρίζες x₁, x₂ της αx² + βx + γ = 0 ισχύουν S = −βα, P = γα.
Ανισότητα αριθμητικού–γεωμετρικού μέσου: για θετικούς α, β ισχύει α + β ≥ 2√αβ.

Σετ 1

Πρόβλημα 1Απόλυτες τιμές

Να λύσετε την εξίσωση |x − 1| + |x − 3| = 6.

Υποδείξεις

Χώρισε σε τρεις περιπτώσεις: x < 1, 1 ≤ x < 3, x ≥ 3.
Γεωμετρικά: το άθροισμα των αποστάσεων του x από τα 1 και 3.

Λύση

Για x ≥ 3: (x − 1) + (x − 3) = 6 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5 (δεκτή).

Για 1 ≤ x < 3: (x − 1) + (3 − x) = 2 ≠ 6, καμία λύση.

Για x < 1: (1 − x) + (3 − x) = 6 ⇒ −2x = 2 ⇒ x = −1 (δεκτή).

Απάντηση: x = −1 ή x = 5

Πρόβλημα 2Πρόοδοι

Οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με άθροισμα 15, ενώ οι α + 1, β + 3, γ + 9 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε τους α, β, γ.

Υποδείξεις

Σε αριθμητική πρόοδο, ο μεσαίος όρος είναι ο μέσος όρος των άλλων δύο. Γράψε α = β − ω, γ = β + ω.

Λύση

α + β + γ = 3β = 15 ⇒ β = 5, οπότε α = 5 − ω, γ = 5 + ω.

Γεωμετρική πρόοδος: (β + 3)² = (α + 1)(γ + 9) ⇒ 64 = (6 − ω)(14 + ω).

64 = 84 − 8ω − ω² ⇒ ω² + 8ω − 20 = 0 ⇒ ω = 2 ή ω = −10.

ω = 2: (α, β, γ) = (3, 5, 7) και 4, 8, 16 ✔. ω = −10: (15, 5, −5) και 16, 8, 4 ✔.

Απάντηση: (3, 5, 7) ή (15, 5, −5)

Πρόβλημα 3Εξισώσεις 2ου βαθμού

Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση x² − (λ + 1)x + λ = 0 έχει δύο διαφορετικές ρίζες με άθροισμα τετραγώνων ίσο με 10.

Υποδείξεις

Παρατήρησε ότι το x = 1 είναι πάντα ρίζα.

Λύση

x² − (λ + 1)x + λ = (x − 1)(x − λ), άρα οι ρίζες είναι 1 και λ.

Για να είναι διαφορετικές: λ ≠ 1.

1² + λ² = 10 ⇒ λ² = 9 ⇒ λ = 3 ή λ = −3 (και τα δύο ≠ 1).

Απάντηση: λ = 3 ή λ = −3

Πρόβλημα 4Πιθανότητες

Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους αριθμούς 1, 2, …, 30. Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός να διαιρείται με το 2 ή με το 3;

Υποδείξεις

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Πότε διαιρείται και με τα δύο;

Λύση

Με το 2 διαιρούνται 15 αριθμοί, με το 3 διαιρούνται 10 και με το 6 (και με τα δύο) 5.

Ευνοϊκές περιπτώσεις: 15 + 10 − 5 = 20.

P = 2030 = 23.

Απάντηση: 23

Σετ 2

Πρόβλημα 1Ανισότητες

Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικούς αριθμούς α, β ισχύει (α + β)(1α + 1β) ≥ 4. Πότε ισχύει η ισότητα;

Υποδείξεις

Κάνε τις πράξεις: εμφανίζεται η παράσταση αβ + βα.

Λύση

(α + β)(1α + 1β) = 1 + αβ + βα + 1 = 2 + αβ + βα.

Αρκεί αβ + βα ≥ 2 ⇔ α² + β² ≥ 2αβ ⇔ (α − β)² ≥ 0, που ισχύει.

Ισότητα όταν α = β.

Απάντηση: Ισότητα για α = β

Πρόβλημα 2Άρρητη εξίσωση

Να λύσετε την εξίσωση √x + 3 = x − 3.

Υποδείξεις

Πριν υψώσεις στο τετράγωνο, σκέψου τι πρόσημο πρέπει να έχει το δεξί μέλος.

Λύση

Πρέπει x + 3 ≥ 0 και x − 3 ≥ 0, δηλαδή x ≥ 3.

Υψώνοντας στο τετράγωνο: x + 3 = x² − 6x + 9 ⇒ x² − 7x + 6 = 0 ⇒ x = 6 ή x = 1.

Το x = 1 απορρίπτεται (x ≥ 3). Έλεγχος για x = 6: √9 = 3 = 6 − 3 ✔.

Απάντηση: x = 6

Πρόβλημα 3Γεωμετρία

Σε ισοσκελές τρίγωνο ABΓ με AB = AΓ, η μεσοκάθετος της πλευράς AB τέμνει την AΓ στο σημείο Δ. Αν η γωνία ΔBΓ είναι 30°, να βρείτε τη γωνία Â.

Υποδείξεις

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος: τι τρίγωνο είναι το ABΔ;

Λύση

Έστω Â = x. Τότε B̂ = Γ̂ = 180° − x2.

Το Δ είναι στη μεσοκάθετο της AB, άρα ΔA = ΔB και το τρίγωνο ABΔ είναι ισοσκελές: ΔB̂A = Â = x.

ΔB̂Γ = B̂ − x = 180° − x2 − x = 30° ⇒ 180° − 3x = 60° ⇒ x = 40°.

Έλεγχος: B̂ = 70° και ΔB̂Γ = 70° − 40° = 30° ✔.

Απάντηση: Â = 40°

Πρόβλημα 4Υπόλοιπα

Για πόσους θετικούς ακεραίους ν ≤ 100 ο αριθμός ν² + ν + 1 είναι πολλαπλάσιο του 3;

Υποδείξεις

Εξέτασε τις περιπτώσεις ν = 3κ, ν = 3κ + 1, ν = 3κ + 2.

Λύση

ν = 3κ: ν² + ν + 1 = 9κ² + 3κ + 1, υπόλοιπο 1.

ν = 3κ + 1: ν² + ν + 1 = 9κ² + 9κ + 3, πολλαπλάσιο του 3 ✔.

ν = 3κ + 2: ν² + ν + 1 = 9κ² + 15κ + 7, υπόλοιπο 1.

Άρα θέλουμε ν = 1, 4, 7, …, 100: είναι 100 − 13 + 1 = 34 αριθμοί.

Απάντηση: 34

Σετ 3

Πρόβλημα 1Ανατοκισμός

Ένα κεφάλαιο 1.000 € τοκίζεται με ανατοκισμό 10% τον χρόνο. Μετά από πόσα χρόνια θα ξεπεράσει για πρώτη φορά τα 2.000 €;

Υποδείξεις

Μετά από ν χρόνια το κεφάλαιο είναι 1.000 · 1,1^ν. Υπολόγισε διαδοχικές δυνάμεις του 1,1.

Λύση

Θέλουμε 1,1^ν > 2.

1,1² = 1,21, 1,1⁴ = 1,4641, 1,1⁶ ≈ 1,7716, 1,1⁷ ≈ 1,9487 < 2, 1,1⁸ ≈ 2,1436 > 2.

Μετά από 8 χρόνια (περίπου 2.143,59 €).

Απάντηση: 8 χρόνια

Πρόβλημα 2Ανίσωση πηλίκο

Να λύσετε την ανίσωση x² − 4x − 1 ≥ 0.

Υποδείξεις

Κάνε πίνακα προσήμων για τους παράγοντες x − 2, x + 2 και x − 1. Ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται.

Λύση

Ρίζες αριθμητή: x = −2, x = 2. Ρίζα παρονομαστή: x = 1 (εξαιρείται).

Πρόσημα: για x < −2 αρνητικό, για −2 < x < 1 θετικό, για 1 < x < 2 αρνητικό, για x > 2 θετικό.

Λύσεις: −2 ≤ x < 1 ή x ≥ 2.

Απάντηση: x ∈ [−2, 1) ∪ [2, +∞)

Πρόβλημα 3Ανισότητες

Αν οι πραγματικοί αριθμοί α, β έχουν άθροισμα 1, να αποδείξετε ότι α² + β² ≥ 12.

Υποδείξεις

Αντικατάστησε β = 1 − α και δες το αποτέλεσμα ως τριώνυμο του α.

Λύση

α² + β² − 12 = α² + (1 − α)² − 12 = 2α² − 2α + 12 = 2(α − 12)² ≥ 0.

Ισότητα για α = β = 12.

Απάντηση: Ισότητα για α = β = 12

Πρόβλημα 4Γεωμετρία

Στο εσωτερικό ενός τετραγώνου ABΓΔ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ABE. Να βρείτε τη γωνία ΔEΓ.

Υποδείξεις

Παρατήρησε ότι AE = AB = AΔ. Τι τρίγωνο είναι το AΔE και πόση είναι η γωνία του στο A;

Λύση

AE = AB = AΔ, άρα το τρίγωνο AΔE είναι ισοσκελές με ΔÂE = 90° − 60° = 30°.

Οι γωνίες της βάσης του είναι 180° − 30°2 = 75°, άρα AÊΔ = 75°. Ομοίως BÊΓ = 75°.

Γύρω από το E: ΔÊΓ = 360° − 60° − 75° − 75° = 150°.

Απάντηση: 150°

Όλα τα προβλήματα είναι πρωτότυπα, γραμμένα αποκλειστικά για το MathGreece, και δεν προέρχονται από θέματα διαγωνισμών. Το MathGreece δεν συνδέεται με κανέναν φορέα που διοργανώνει μαθηματικούς διαγωνισμούς.

Άλλα επίπεδα

Ε΄ – ΣΤ΄ Δημοτικού Α΄ – Β΄ Γυμνασίου Γ΄ Γυμνασίου Β΄ – Γ΄ Λυκείου