7.6 Διαίρεση τμήματος εσωτερικά και εξωτερικά σε δοσμένο λόγο

Μάθημα 7.6 Διαίρεση τμήματος εσωτερικά και εξωτερικά σε δοσμένο λόγο της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Αναλογίες». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

Λυμένες ασκήσεις: Διαίρεση τμήματος εσωτερικά και εξωτερικά σε δοσμένο λόγο

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Εσωτερική και εξωτερική διαίρεση.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

1. Ένα σημείο Μ διαιρεί εσωτερικά το ΑΒ σε λόγο λ όταν:

   • ΜΑ = λ
   • ΜΑ·ΜΒ = λ
   • το Μ είναι εκτός του ΑΒ και ΜΑ/ΜΒ = λ
   • το Μ είναι σημείο του ΑΒ και ΜΑ/ΜΒ = λ
   Δες την απάντηση

   Σωστό: το Μ είναι σημείο του ΑΒ και ΜΑ/ΜΒ = λ. Εσωτερική διαίρεση: το Μ ανάμεσα στα Α, Β.

2. Για κάθε λ > 0, το σημείο που διαιρεί εσωτερικά το ΑΒ σε λόγο λ:

   • δεν υπάρχει
   • είναι άπειρα σημεία
   • είναι δύο σημεία
   • υπάρχει και είναι μοναδικό
   Δες την απάντηση

   Σωστό: υπάρχει και είναι μοναδικό. Κάθε θετικός λόγος αντιστοιχεί σε ένα μόνο εσωτερικό σημείο.

3. Σημείο που διαιρεί το ΑΒ εξωτερικά σε λόγο λ = 1:

   • δεν υπάρχει
   • είναι το Α
   • είναι το Β
   • είναι το μέσο
   Δες την απάντηση

   Σωστό: δεν υπάρχει. Θα έπρεπε ΜΑ = ΜΒ με Μ έξω από το ΑΒ, που είναι αδύνατο.

4. Αν ΑΒ = 12 και το Μ διαιρεί εσωτερικά το ΑΒ σε λόγο 1/2, τότε ΜΑ =

   • 3
   • 4
   • 6
   • 8
   Δες την απάντηση

   Σωστό: 4. ΜΑ/ΜΒ = 1/2 και ΜΑ + ΜΒ = 12, άρα ΜΑ = 4.

5. Αν ΑΒ = 6 και το Μ διαιρεί εξωτερικά το ΑΒ σε λόγο 2, τότε ΜΑ =

   • 12
   • 18
   • 4
   • 6
   Δες την απάντηση

   Σωστό: 12. ΜΑ = 2ΜΒ και ΜΑ − ΜΒ = 6, άρα ΜΒ = 6 και ΜΑ = 12.

6. Αν λ > 1, το σημείο εξωτερικής διαίρεσης βρίσκεται:

   • πάνω στο ΑΒ
   • στην προέκταση προς το μέρος του Α
   • στην προέκταση του ΑΒ προς το μέρος του Β
   • στο μέσο του ΑΒ
   Δες την απάντηση

   Σωστό: στην προέκταση του ΑΒ προς το μέρος του Β. ΜΑ > ΜΒ, άρα το Μ είναι πιο κοντά στο Β.

7. Αν 0 < λ < 1, το σημείο εξωτερικής διαίρεσης βρίσκεται:

   • πάνω στο ΑΒ
   • στην προέκταση προς το μέρος του Β
   • στην προέκταση του ΑΒ προς το μέρος του Α
   • στο μέσο του ΑΒ
   Δες την απάντηση

   Σωστό: στην προέκταση του ΑΒ προς το μέρος του Α. ΜΑ < ΜΒ, άρα το Μ είναι πιο κοντά στο Α.

8. Τα σημεία που διαιρούν το ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά στον ίδιο λόγο λέγονται:

   • ισαπέχοντα από το Α
   • μέσα του ΑΒ
   • συζυγή αρμονικά των Α και Β
   • συμμετρικά ως προς το μέσο
   Δες την απάντηση

   Σωστό: συζυγή αρμονικά των Α και Β. Ορισμός των αρμονικών συζυγών.

9. Αν ΑΒ = 10 και το Μ διαιρεί εσωτερικά το ΑΒ σε λόγο 3/2, τότε ΜΑ =

   • 15
   • 4
   • 5
   • 6
   Δες την απάντηση

   Σωστό: 6. ΜΑ = 3κ, ΜΒ = 2κ, 5κ = 10, κ = 2.

10. Αν το Μ διαιρεί εσωτερικά το ΑΒ με ΜΑ/ΜΒ = 1, τότε το Μ είναι:

    • δεν υπάρχει
    • σημείο εκτός του ΑΒ
    • το Α
    • το μέσο του ΑΒ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: το μέσο του ΑΒ. ΜΑ = ΜΒ με Μ πάνω στο ΑΒ.

Σωστό ή Λάθος

1. Ένα τμήμα διαιρείται εσωτερικά σε δοσμένο λόγο λ ≠ 1 με δύο τρόπους.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. Υπάρχει μοναδικό εσωτερικό σημείο (και μοναδικό εξωτερικό για λ ≠ 1).

2. Αν λ = 1, δεν υπάρχει σημείο που να διαιρεί το τμήμα εξωτερικά σε λόγο λ.

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Το εξωτερικό σημείο θα έπρεπε να ισαπέχει από τα άκρα έξω από το τμήμα.

3. Το μέσο του ΑΒ διαιρεί το ΑΒ εξωτερικά σε λόγο 1.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. Το διαιρεί εσωτερικά σε λόγο 1.

4. Τα σημεία Μ που διαιρούν το ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά στον ίδιο λόγο λέγονται συζυγή αρμονικά των Α, Β.

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Αρμονική τετράδα.

5. Αν Μ διαιρεί το ΑΒ εσωτερικά σε λόγο 2, τότε ΜΑ = 2ΑΒ.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. ΜΑ = 2ΜΒ.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Αναλογίες»

• 7.1–7.3 Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων
• 7.4–7.5 Ανάλογα τμήματα – Αναλογίες
• 7.7 Θεώρημα του Θαλή
• 7.8–7.9 Θεωρήματα των διχοτόμων – Απολλώνιος κύκλος