7.7 Θεώρημα του Θαλή
Μάθημα 7.7 Θεώρημα του Θαλή της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Αναλογίες». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.
Λυμένες ασκήσεις: Θεώρημα του Θαλή
Θαλής σε τρίγωνο
Υποδείξεις
- Θαλής: ΑΔΔΒ = ΑΕΕΓ.
Λύση και απάντηση
- 42 = 8ΕΓ ⇒ ΕΓ = 4.
Απάντηση: 4
Θαλής με άγνωστο x
Υποδείξεις
- Θαλής: ΑΔΔΒ = ΑΕΕΓ.
- Χιαστί: 30x = 24(x + 2).
Λύση και απάντηση
- 30x = 24x + 48 ⇒ 6x = 48.
- x = 8.
Απάντηση: 8
Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Θαλής σε τρίγωνο · Θαλής με άγνωστο x.
Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις
Σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή, τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες που τέμνουν δύο ευθείες ορίζουν σε αυτές:
- ανάλογα τμήματα
- κάθετα τμήματα
- πάντα ίσα τμήματα
- τμήματα με άθροισμα 1
Δες την απάντηση
Σωστό: ανάλογα τμήματα. Τα τμήματα της μίας είναι ανάλογα των αντίστοιχων τμημάτων της άλλης.
Παράλληλες ε₁, ε₂, ε₃ τέμνουν τη δ₁ στα Α, Β, Γ και τη δ₂ στα Α′, Β′, Γ′. Αν ΑΒ = 2, ΒΓ = 3, Α′Β′ = 4, τότε Β′Γ′ =
- 1,5
- 5
- 6
- 8
Δες την απάντηση
Σωστό: 6. ΑΒ/ΒΓ = Α′Β′/Β′Γ′, άρα 2/3 = 4/Β′Γ′.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η ΔΕ είναι παράλληλη στη ΒΓ (Δ στην ΑΒ, Ε στην ΑΓ). Τότε:
- ΑΔ = ΑΕ
- ΑΔ/ΑΒ = ΑΕ/ΑΓ
- ΑΔ/ΑΓ = ΑΕ/ΑΒ
- ΔΕ = ΒΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΑΔ/ΑΒ = ΑΕ/ΑΓ. Συνέπεια του θεωρήματος του Θαλή.
Στο ίδιο σχήμα (ΔΕ ∥ ΒΓ), αν ΑΔ = 3, ΔΒ = 2, ΑΕ = 6, τότε ΕΓ =
- 2
- 3
- 4
- 9
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. ΑΔ/ΔΒ = ΑΕ/ΕΓ, άρα 3/2 = 6/ΕΓ.
Το τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο στην τρίτη πλευρά και ίσο με:
- την τρίτη πλευρά
- το 1/3 της
- το διπλάσιό της
- το μισό της
Δες την απάντηση
Σωστό: το μισό της. Θεώρημα των μέσων.
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΔ/ΔΒ = ΑΕ/ΕΓ (Δ στην ΑΒ, Ε στην ΑΓ), τότε:
- ΑΔ = ΑΕ
- ΔΕ = ΒΓ
- ΔΕ ∥ ΒΓ
- ΔΕ ⊥ ΒΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΔΕ ∥ ΒΓ. Αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή.
Αν ΔΕ ∥ ΒΓ, ΑΔ = 2, ΑΒ = 6 και ΒΓ = 9, τότε ΔΕ =
- 2
- 3
- 4,5
- 6
Δες την απάντηση
Σωστό: 3. ΔΕ/ΒΓ = ΑΔ/ΑΒ = 1/3.
Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε σε κάθε άλλη ευθεία που τέμνουν ορίζουν:
- άνισα τμήματα
- ίσα τμήματα
- διπλάσια τμήματα
- κανένα τμήμα
Δες την απάντηση
Σωστό: ίσα τμήματα. Ειδική περίπτωση του θεωρήματος (λόγος 1).
Με το θεώρημα του Θαλή μπορούμε, με κανόνα και διαβήτη:
- να διαιρέσουμε τμήμα σε ν ίσα μέρη
- να μετρήσουμε το π ακριβώς
- να τετραγωνίσουμε τον κύκλο
- να τριχοτομήσουμε κάθε γωνία
Δες την απάντηση
Σωστό: να διαιρέσουμε τμήμα σε ν ίσα μέρη. Χρησιμοποιούμε βοηθητική ημιευθεία με ίσα τμήματα και παράλληλες.
Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ), μια ευθεία παράλληλη στις βάσεις τέμνει τις μη παράλληλες πλευρές σε τμήματα:
- ανάλογα
- κάθετα μεταξύ τους
- μηδενικά
- πάντα ίσα
Δες την απάντηση
Σωστό: ανάλογα. Οι βάσεις και η ευθεία είναι τρεις παράλληλες: Θαλής.
Σωστό ή Λάθος
Το θεώρημα του Θαλή ισχύει μόνο για δύο τέμνουσες.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που τέμνονται από τρεις ή περισσότερες παράλληλες.
Αν τρεις παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο ευθείες, τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα των αντίστοιχων τμημάτων στην άλλη.
Δες την απάντηση
Σωστό. Θεώρημα Θαλή.
Το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή ισχύει πάντα για τρεις ευθείες.
Δες την απάντηση
Λάθος. Χρειάζεται επιπλέον δύο από αυτές να είναι παράλληλες.
Σε τρίγωνο, η παράλληλη από το μέσο μιας πλευράς προς μια άλλη διέρχεται από το μέσο της τρίτης.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ειδική περίπτωση του Θαλή.
Αν ΔΕ ∥ ΒΓ σε τρίγωνο ΑΒΓ, τότε ΑΔΔΒ = ΔΕΒΓ.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει ΑΔΑΒ = ΔΕΒΓ (με ολόκληρη την πλευρά).
Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.