7.8–7.9 Θεωρήματα των διχοτόμων – Απολλώνιος κύκλος
Μάθημα 7.8–7.9 Θεωρήματα των διχοτόμων – Απολλώνιος κύκλος της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Αναλογίες». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.
Λυμένες ασκήσεις: Θεωρήματα των διχοτόμων – Απολλώνιος κύκλος
Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου
Υποδείξεις
- Θεώρημα διχοτόμου: ΔΒΔΓ = ΑΒΑΓ.
- Άρα ΒΔ = α · γβ + γ.
Λύση και απάντηση
- ΔΒΔΓ = 510 και ΔΒ + ΔΓ = 14.
- ΔΒ = 14 · 510 + 5 = 143.
Απάντηση: ΒΔ = 143
Εξωτερική διχοτόμος
Υποδείξεις
- Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου: ΕΒΕΓ = ΑΒΑΓ = 35.
- Το Ε είναι εκτός του ΒΓ, προς την πλευρά της μικρότερης πλευράς: |ΕΓ − ΕΒ| = 6.
Λύση και απάντηση
- ΕΒ = 3κ, ΕΓ = 5κ, |5κ − 3κ| = 6 ⇒ κ = 3.
- ΒΕ = 9.
Απάντηση: 9
Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου · Εξωτερική διχοτόμος.
Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις
Αν ΑΔ είναι η εσωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, τότε:
- ΔΒ = ΔΓ πάντα
- ΔΒ/ΔΓ = ΑΒ/ΑΓ
- ΔΒ/ΔΓ = ΑΓ/ΑΒ
- ΔΒ/ΔΓ = ΒΓ/ΑΒ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΔΒ/ΔΓ = ΑΒ/ΑΓ. Η διχοτόμος χωρίζει την απέναντι πλευρά σε λόγο ίσο με τον λόγο των προσκείμενων πλευρών.
Σε τρίγωνο με ΑΒ = 6, ΑΓ = 4, ΒΓ = 5, η εσωτερική διχοτόμος ΑΔ δίνει ΔΒ =
- 2
- 2,5
- 3
- 3,5
Δες την απάντηση
Σωστό: 3. ΔΒ/ΔΓ = 6/4 = 3/2 και ΔΒ + ΔΓ = 5.
Αν η εξωτερική διχοτόμος της Α τέμνει την προέκταση της ΒΓ στο Ε, τότε:
- ΕΒ = ΕΓ
- ΕΒ/ΕΓ = ΑΒ/ΑΓ
- ΕΒ/ΕΓ = ΑΓ/ΑΒ
- ΕΒ/ΕΓ = ΒΓ/ΑΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΕΒ/ΕΓ = ΑΒ/ΑΓ. Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου.
Σε ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ = ΑΓ, η εσωτερική διχοτόμος ΑΔ:
- δίνει ΔΒ = 2ΔΓ
- δεν τέμνει τη ΒΓ
- είναι και διάμεσος
- είναι παράλληλη στη ΒΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: είναι και διάμεσος. ΔΒ/ΔΓ = ΑΒ/ΑΓ = 1.
Σε ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ = ΑΓ, η εξωτερική διχοτόμος της Α:
- διέρχεται από το μέσο της ΒΓ
- είναι κάθετη στη ΒΓ
- είναι παράλληλη στη ΒΓ
- τέμνει την προέκταση της ΒΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: είναι παράλληλη στη ΒΓ. Το εξωτερικό σημείο διαίρεσης σε λόγο 1 δεν υπάρχει.
Η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της ίδιας γωνίας τριγώνου είναι:
- ίδια ευθεία
- κάθετες
- παράλληλες
- σχηματίζουν γωνία 45°
Δες την απάντηση
Σωστό: κάθετες. Τα μισά δύο παραπληρωματικών γωνιών αθροίζουν 90°.
Τα ίχνη Δ και Ε της εσωτερικής και της εξωτερικής διχοτόμου της Α στην ευθεία ΒΓ είναι:
- συζυγή αρμονικά των Β, Γ
- συμμετρικά ως προς το Α
- τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ
- το ίδιο σημείο
Δες την απάντηση
Σωστό: συζυγή αρμονικά των Β, Γ. Διαιρούν τη ΒΓ εσωτερικά και εξωτερικά στον ίδιο λόγο ΑΒ/ΑΓ.
Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ με ΜΑ/ΜΒ = λ, όπου λ > 0 και λ ≠ 1, είναι:
- ευθεία
- η μεσοκάθετος του ΑΒ
- κύκλος (Απολλώνιος κύκλος)
- παραβολή
Δες την απάντηση
Σωστό: κύκλος (Απολλώνιος κύκλος). Ο κύκλος του Απολλωνίου.
Για λ = 1, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ με ΜΑ/ΜΒ = λ είναι:
- η ευθεία ΑΒ
- η μεσοκάθετος του ΑΒ
- κύκλος
- το μέσο του ΑΒ
Δες την απάντηση
Σωστό: η μεσοκάθετος του ΑΒ. ΜΑ = ΜΒ: τα σημεία που ισαπέχουν από Α και Β.
Ο Απολλώνιος κύκλος έχει διάμετρο το τμήμα:
- ΑΒ
- ΑΓ
- ΒΔ
- ΓΔ, όπου Γ, Δ τα σημεία που διαιρούν το ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο λ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΓΔ, όπου Γ, Δ τα σημεία που διαιρούν το ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο λ. Τα δύο σημεία διαίρεσης είναι αντιδιαμετρικά του κύκλου.
Σωστό ή Λάθος
Η εσωτερική διχοτόμος διαιρεί την απέναντι πλευρά σε δύο ίσα τμήματα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Τη διαιρεί σε λόγο ίσο με τον λόγο των προσκείμενων πλευρών.
Η εξωτερική διχοτόμος διαιρεί την απέναντι πλευρά εξωτερικά στον λόγο των προσκείμενων πλευρών.
Δες την απάντηση
Σωστό. Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου.
Σε ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ) η εξωτερική διχοτόμος της Α τέμνει τη ΒΓ.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι παράλληλη στη ΒΓ.
Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ με ΜΑΜΒ = λ ≠ 1 είναι κύκλος (απολλώνιος).
Δες την απάντηση
Σωστό. Απολλώνιος κύκλος.
Για λ = 1, ο απολλώνιος «κύκλος» είναι κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ.
Δες την απάντηση
Λάθος. Για λ = 1 είναι η μεσοκάθετος του ΑΒ.
Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.