1.1 Η έννοια του διανύσματος
Μάθημα 1.1 Η έννοια του διανύσματος της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διανύσματα». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.
Λυμένες ασκήσεις: Η έννοια του διανύσματος
Γωνία αντίθετων και πολλαπλάσιων διανυσμάτων
Υποδείξεις
- Πολλαπλασιασμός με θετικό αριθμό δεν αλλάζει την κατεύθυνση· με αρνητικό την αντιστρέφει.
- Αν αντιστραφεί ακριβώς ένα από τα δύο διανύσματα, η γωνία γίνεται 180° − θ.
Λύση και απάντηση
- Το −3α είναι αντίρροπο του α, το −β αντίρροπο του β.
- Η γωνία μένει 120°.
Απάντηση: 120 °
Ίσα και αντίθετα διανύσματα σε παραλληλόγραμμο
- ΑΒ
- ΓΑ
- ΔΒ
- 0
Υποδείξεις
- Σε παραλληλόγραμμο: ΑΒ = ΔΓ, ΑΔ = ΒΓ.
- Οι διαγώνιοι διχοτομούνται: ΟΑ = −ΟΓ, ΟΒ = −ΟΔ.
Λύση και απάντηση
- ΟΒ − ΟΑ = ΑΒ.
Απάντηση: ΑΒ
Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Γωνία αντίθετων και πολλαπλάσιων διανυσμάτων · Ίσα και αντίθετα διανύσματα σε παραλληλόγραμμο.
Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις
Διάνυσμα λέγεται:
- ένα ευθύγραμμο τμήμα χωρίς φορά
- ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα
- ένας θετικός αριθμός
- μια ευθεία
Δες την απάντηση
Σωστό: ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Έχει αρχή και πέρας.
Μηδενικό διάνυσμα λέγεται το διάνυσμα του οποίου:
- η αρχή και το πέρας ταυτίζονται
- η διεύθυνση είναι οριζόντια
- η φορά είναι προς τα αριστερά
- το μέτρο είναι 1
Δες την απάντηση
Σωστό: η αρχή και το πέρας ταυτίζονται. Π.χ. το ΑΑ, με μέτρο 0.
Δύο μη μηδενικά διανύσματα είναι ίσα όταν:
- έχουν ίσα μέτρα
- έχουν την ίδια αρχή
- έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα
- είναι παράλληλα
Δες την απάντηση
Σωστό: έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Ίδια διεύθυνση, ίδια φορά και ίσα μέτρα.
Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα όταν:
- έχουν ίδια κατεύθυνση
- έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα
- έχουν διαφορετικά μέτρα
- είναι κάθετα
Δες την απάντηση
Σωστό: έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Π.χ. τα ΑΒ και ΒΑ.
Μοναδιαίο λέγεται ένα διάνυσμα με μέτρο:
- 0
- 1
- π
- −1
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. Ορισμός.
Αν ΑΒ = ΓΔ ως διανύσματα, τότε το ΑΒΔΓ (όταν τα σημεία δεν είναι συνευθειακά) είναι:
- παραλληλόγραμμο
- ρόμβος πάντα
- τετράγωνο πάντα
- τραπέζιο
Δες την απάντηση
Σωστό: παραλληλόγραμμο. Οι ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες και παράλληλες με ίδια φορά.
Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, τότε ως διανύσματα:
- ΑΜ = ΑΒ
- ΑΜ = ΒΜ
- ΑΜ = ΜΒ
- ΜΑ = ΜΒ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΑΜ = ΜΒ. Ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα.
Δύο διανύσματα λέγονται συγγραμμικά όταν:
- έχουν ίσα μέτρα
- έχουν την ίδια αρχή
- έχουν την ίδια διεύθυνση (φορείς παράλληλοι ή ίδιοι)
- σχηματίζουν γωνία 90°
Δες την απάντηση
Σωστό: έχουν την ίδια διεύθυνση (φορείς παράλληλοι ή ίδιοι). Μπορεί να είναι ομόρροπα ή αντίρροπα.
Η γωνία δύο αντίρροπων διανυσμάτων είναι:
- 0°
- 180°
- 45°
- 90°
Δες την απάντηση
Σωστό: 180°. Αντίθετες φορές.
Η γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων παίρνει τιμές στο διάστημα:
- (0, π)
- [0, 2π)
- [0, π]
- [−π, π]
Δες την απάντηση
Σωστό: [0, π]. Ορισμός της γωνίας διανυσμάτων.
Σωστό ή Λάθος
Δύο διανύσματα με ίσα μέτρα είναι ίσα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Πρέπει επιπλέον να είναι ομόρροπα.
Δύο αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα και αντίθετη φορά.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ορισμός αντίθετων διανυσμάτων.
Το μηδενικό διάνυσμα δεν είναι παράλληλο σε κανένα διάνυσμα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Θεωρείται παράλληλο (συγγραμμικό) με κάθε διάνυσμα.
Αν ΑΒ = ΓΔ (ως διανύσματα), τότε το ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο ή τα σημεία είναι συνευθειακά.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ίσα διανύσματα: ίδιο μέτρο, ίδια διεύθυνση και φορά.
Η γωνία δύο διανυσμάτων μπορεί να είναι 200°.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η γωνία δύο διανυσμάτων είναι από 0° έως 180°.
Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.