1.4 Συντεταγμένες στο επίπεδο

Μάθημα 1.4 Συντεταγμένες στο επίπεδο της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διανύσματα». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Συντεταγμένες στο επίπεδο

Απόσταση δύο σημείων

Να βρείτε την απόσταση των σημείων Α(−2, 2) και Β(5, 0).

Υποδείξεις

(ΑΒ) = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].

Λύση και απάντηση

Δx = 7, Δy = −2.
(ΑΒ) = √(49 + 4) = √53.

Απάντηση: √53

Τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου

Τα σημεία Α(−4, 1), Β(2, −5), Γ(0, 5) είναι τρεις διαδοχικές κορυφές παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Δ.

Υποδείξεις

ΑΔ = ΒΓ.
Ή: οι διαγώνιοι έχουν κοινό μέσο, άρα Α + Γ = Β + Δ.

Λύση και απάντηση

ΒΓ = (−2, 10).
Δ = Α + ΒΓ = (−6, 11).

Απάντηση: x = −6 · y = 11

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Απόσταση δύο σημείων · Τέταρτη κορυφή παραλληλογράμμου · Παράλληλα διανύσματα με παράμετρο · Βαρύκεντρο τριγώνου.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Αν Α(1, 2) και Β(4, 6), τότε ΑΒ =
- (3, 4)
- (4, 3)
- (5, 8)
- (−3, −4)
Δες την απάντηση
Σωστό: (3, 4). (x₂ − x₁, y₂ − y₁).
Το μέτρο του διανύσματος α = (3, 4) είναι:
- 1
- 25
- 5
- 7
Δες την απάντηση
Σωστό: 5. √(9 + 16) = 5.
Το μέσο του ΑΒ με Α(2, 4) και Β(6, 8) είναι:
- (2, 2)
- (3, 4)
- (4, 6)
- (8, 12)
Δες την απάντηση
Σωστό: (4, 6). Ημιαθροίσματα των συντεταγμένων.
Ο συντελεστής διεύθυνσης του α = (2, 6) είναι:
- 1/3
- 12
- 3
- 6
Δες την απάντηση
Σωστό: 3. λ = y/x = 6/2.
Τα α = (x₁, y₁) και β = (x₂, y₂) είναι παράλληλα αν και μόνο αν:
- x₁ + x₂ = y₁ + y₂
- x₁x₂ + y₁y₂ = 0
- x₁y₁ = x₂y₂
- x₁y₂ − x₂y₁ = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: x₁y₂ − x₂y₁ = 0. Η ορίζουσα det(α, β) είναι μηδέν.
Τα (2, 3) και (4, 6) είναι:
- αντίθετα
- κάθετα
- παράλληλα
- τίποτα από αυτά
Δες την απάντηση
Σωστό: παράλληλα. (4, 6) = 2·(2, 3).
Η απόσταση των Α(1, 1) και Β(4, 5) είναι:
- 25
- 5
- 7
- √7
Δες την απάντηση
Σωστό: 5. √(9 + 16).
Αν α = (1, −2) και β = (3, 1), τότε 2α + β =
- (2, −4)
- (4, −1)
- (5, −1)
- (5, −3)
Δες την απάντηση
Σωστό: (5, −3). (2 + 3, −4 + 1).
Το βαρύκεντρο του τριγώνου με κορυφές (0, 0), (3, 0), (0, 6) είναι:
- (1, 2)
- (1,5, 3)
- (2, 1)
- (3, 6)
Δες την απάντηση
Σωστό: (1, 2). ((0 + 3 + 0)/3, (0 + 0 + 6)/3).
Ένα διάνυσμα παράλληλο στον άξονα y′y:
- έχει λ = 0
- έχει λ = 1
- έχει λ = −1
- δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης
Δες την απάντηση
Σωστό: δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. Έχει x = 0, άρα το y/x δεν ορίζεται.

Σωστό ή Λάθος

Τα διανύσματα (2, 3) και (4, 5) είναι παράλληλα.
Δες την απάντηση
Λάθος. det = 2 · 5 − 3 · 4 = −2 ≠ 0.
Αν Α(1, 2) και Β(4, 6), τότε |ΑΒ| = 5.
Δες την απάντηση
Σωστό. ΑΒ = (3, 4), |ΑΒ| = √(9 + 16) = 5.
Ο συντελεστής διεύθυνσης του (0, 5) είναι 0.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι κατακόρυφο, οπότε δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. Μηδέν έχει το (5, 0).
Το μέσο του τμήματος με άκρα (−2, 4) και (6, 0) είναι το (2, 2).
Δες την απάντηση
Σωστό. ((−2 + 6)/2, (4 + 0)/2).
Το διάνυσμα (−3, 0) σχηματίζει γωνία 0° με τον άξονα x′x.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι αντίρροπο του i: σχηματίζει γωνία 180° (π) με τον θετικό ημιάξονα.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.