1.3 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Μάθημα 1.3 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διανύσματα». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Σημείο πάνω σε πλευρά τριγώνου

Στο τρίγωνο ΑΒΓ θέτουμε ΑΒ = α και ΑΓ = β. Το σημείο Δ της ΒΓ είναι τέτοιο ώστε ΒΔ = 23ΒΓ. Αν ΑΔ = λα + μβ, να βρείτε λ και μ.

Υποδείξεις

ΑΔ = ΑΒ + ΒΔ.
ΒΓ = ΑΓ − ΑΒ = β − α.

Λύση και απάντηση

ΑΔ = α + 23(β − α).
= 13α + 23β.

Απάντηση: λ = 13 · μ = 23

Συγγραμμικά διανύσματα με παράμετρο

Τα α, β δεν είναι συγγραμμικά. Να βρείτε το λ ώστε τα u = 4α + λβ και v = 4α − 5β να είναι συγγραμμικά.

Υποδείξεις

Συγγραμμικά ⇔ u = κv για κάποιο κ.
Αφού α, β μη συγγραμμικά, εξισώνουμε τους συντελεστές.

Λύση και απάντηση

4 = κ·4 ⇒ κ = 1.
λ = κ·(−5) = −5.

Απάντηση: −5

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Σημείο πάνω σε πλευρά τριγώνου · Συγγραμμικά διανύσματα με παράμετρο · Κέντρο βάρους με διανύσματα.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Αν λ > 0, το λα είναι:
- αντίρροπο του α
- κάθετο στο α
- ομόρροπο του α με μέτρο λ|α|
- πάντα μηδενικό
Δες την απάντηση
Σωστό: ομόρροπο του α με μέτρο λ|α|. Ορισμός.
Αν λ < 0, το λα είναι:
- αντίρροπο του α με μέτρο |λ|·|α|
- κάθετο στο α
- ομόρροπο του α
- πάντα μοναδιαίο
Δες την απάντηση
Σωστό: αντίρροπο του α με μέτρο |λ|·|α|. Ορισμός.
Αν β ≠ 0, τα α και β είναι παράλληλα αν και μόνο αν:
- |α| = |β|
- α + β = 0
- α = β
- α = λβ για κάποιο λ ∈ ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: α = λβ για κάποιο λ ∈ ℝ. Συνθήκη παραλληλίας.
Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς, τότε ΟΜ =
- (ΟΑ + ΟΒ)/2
- (ΟΒ − ΟΑ)/2
- 2(ΟΑ + ΟΒ)
- ΟΑ + ΟΒ
Δες την απάντηση
Σωστό: (ΟΑ + ΟΒ)/2. Διανυσματική ακτίνα μέσου.
Αν G είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΓ, τότε ΟG =
- (ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ)/2
- (ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ)/3
- (ΟΑ + ΟΒ)/3
- ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: (ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ)/3. Διανυσματική ακτίνα βαρύκεντρου.
Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν:
- |ΑΒ| = |ΑΓ|
- ΑΒ + ΑΓ = 0 πάντα
- ΑΒ ⊥ ΑΓ
- τα ΑΒ και ΑΓ είναι συγγραμμικά
Δες την απάντηση
Σωστό: τα ΑΒ και ΑΓ είναι συγγραμμικά. Συνθήκη συνευθειακότητας.
Το 0·α ισούται με:
- το α
- το μηδενικό διάνυσμα
- το −α
- τον αριθμό 0
Δες την απάντηση
Σωστό: το μηδενικό διάνυσμα. Ορισμός.
Αν 3α = 3β, τότε:
- α = 3β
- α = β
- α = −β
- δεν συμπεραίνουμε τίποτα
Δες την απάντηση
Σωστό: α = β. Διαιρούμε με 3 ≠ 0.
Το μοναδιαίο διάνυσμα ομόρροπο του α ≠ 0 είναι:
- |α|·α
- α/|α|
- α²
- −α/|α|
Δες την απάντηση
Σωστό: α/|α|. Έχει μέτρο 1 και ίδια φορά.
Αν ΑΒ = 3ΑΓ, τότε τα Α, Β, Γ είναι:
- κορυφές ισόπλευρου τριγώνου
- κορυφές ορθογωνίου τριγώνου
- συνευθειακά
- τυχαία σημεία
Δες την απάντηση
Σωστό: συνευθειακά. Τα ΑΒ, ΑΓ είναι συγγραμμικά με κοινή αρχή.

Σωστό ή Λάθος

Αν λα = 0, τότε λ = 0 και α = 0.
Δες την απάντηση
Λάθος. Αρκεί λ = 0 ή α = 0.
Αν α ≠ 0, τότε β ∥ α ⇔ υπάρχει μοναδικός λ με β = λα.
Δες την απάντηση
Σωστό. Συνθήκη παραλληλίας.
Το διάνυσμα −3α είναι ομόρροπο του α.
Δες την απάντηση
Λάθος. Για λ < 0 το λα είναι αντίρροπο του α.
Αν Μ είναι μέσο του ΑΒ, τότε για κάθε σημείο Ο: ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ2.
Δες την απάντηση
Σωστό. Διανυσματική ακτίνα του μέσου.
|λα| = λ|α| για κάθε πραγματικό λ.
Δες την απάντηση
Λάθος. |λα| = |λ| · |α|. Για λ < 0 το λ|α| είναι αρνητικό.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.