1.2 Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

Μάθημα 1.2 Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διανύσματα». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

Απλοποίηση διανυσματικής παράστασης

Να απλοποιήσετε την παράσταση −ΖΕ − ΑΖ + ΑΔ.

ΕΔ
ΔΕ
ΕΖ
0
ΖΔ

Υποδείξεις

−ΧΥ = ΥΧ: γύρισε όλα τα αφαιρούμενα διανύσματα.
Κανόνας Chasles: ΧΥ + ΥΖ = ΧΖ. Βάλε τα διανύσματα σε σειρά «διαδρομής».

Λύση και απάντηση

Με αντιστροφή των αφαιρούμενων όλα γίνονται προσθετέοι: ΕΖ + ΖΑ + ΑΔ.
Από Chasles: ΕΔ.

Απάντηση: ΕΔ

Μέτρο αθροίσματος

Αν |α| = 6, |β| = 2 και η γωνία τους είναι 60°, να βρείτε το |α + β|.

Υποδείξεις

|α + β|² = |α|² + |β|² + 2α·β.
α·β = |α||β|συν60° = 6.

Λύση και απάντηση

|α + β|² = 36 + 4 + 2·(6) = 52.
|α + β| = √52 = 2√13.

Απάντηση: 2√13

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Απλοποίηση διανυσματικής παράστασης · Μέτρο αθροίσματος.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ ισχύει (ως διανύσματα):
- ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ
- ΑΒ + ΒΓ = 0
- ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ
- ΑΒ + ΒΓ = ΓΑ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ. Κανόνας του τριγώνου.
Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι:
- αντιμεταθετική και προσεταιριστική
- μόνο αντιμεταθετική
- μόνο προσεταιριστική
- ούτε το ένα ούτε το άλλο
Δες την απάντηση
Σωστό: αντιμεταθετική και προσεταιριστική. Όπως η πρόσθεση αριθμών.
Για κάθε διάνυσμα ΑΒ ισχύει ΑΒ + ΒΑ =
- 0 (το μηδενικό διάνυσμα)
- 2ΑΒ
- ΑΒ
- ΒΑ
Δες την απάντηση
Σωστό: 0 (το μηδενικό διάνυσμα). Τα ΑΒ και ΒΑ είναι αντίθετα.
Αν Ο είναι σημείο αναφοράς, τότε το διάνυσμα ΑΒ ισούται με:
- ΟΑ + ΟΒ
- ΟΑ − ΟΒ
- ΟΒ + ΟΑ
- ΟΒ − ΟΑ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΟΒ − ΟΑ. Διάνυσμα θέσης πέρατος μείον διάνυσμα θέσης αρχής.
Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει ΑΒ + ΑΔ =
- ΑΓ
- ΒΔ
- ΓΑ
- ΔΒ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΑΓ. Κανόνας του παραλληλογράμμου.
Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει ΑΒ − ΑΔ =
- ΑΓ
- ΒΔ
- ΓΑ
- ΔΒ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΔΒ. ΑΒ − ΑΔ = ΔΑ + ΑΒ = ΔΒ.
Η τριγωνική ανισότητα για διανύσματα α, β είναι:
- ||α| − |β|| ≤ |α + β| ≤ |α| + |β|
- |α + β| = |α| + |β| πάντα
- |α + β| ≤ |α| − |β|
- |α + β| ≥ |α| + |β|
Δες την απάντηση
Σωστό: ||α| − |β|| ≤ |α + β| ≤ |α| + |β|. Βασική ιδιότητα μέτρων.
Το άθροισμα ΑΒ + ΒΓ + ΓΑ είναι:
- 2ΑΒ
- ΑΒ
- ΑΓ
- το μηδενικό διάνυσμα
Δες την απάντηση
Σωστό: το μηδενικό διάνυσμα. Επιστρέφουμε στο αρχικό σημείο.
Αν |α| = 3 και |β| = 4 και τα α, β είναι ομόρροπα, τότε |α + β| =
- 1
- 12
- 5
- 7
Δες την απάντηση
Σωστό: 7. Ομόρροπα: τα μέτρα προστίθενται.
Αν |α| = 3 και |β| = 4 και τα α, β είναι κάθετα, τότε |α + β| =
- 1
- 25
- 5
- 7
Δες την απάντηση
Σωστό: 5. Πυθαγόρειο: √(9 + 16).

Σωστό ή Λάθος

|α + β| = |α| + |β| για κάθε α, β.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει μόνο όταν τα α, β είναι ομόρροπα. Γενικά |α + β| ≤ |α| + |β|.
ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Κανόνας του τριγώνου (διαδοχικά διανύσματα).
ΑΒ − ΑΓ = ΒΓ.
Δες την απάντηση
Λάθος. ΑΒ − ΑΓ = ΓΒ.
Για κάθε σημείο Ο ισχύει ΑΒ = ΟΒ − ΟΑ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Διάνυσμα θέσης «τέλους» μείον «αρχής».
Η αφαίρεση διανυσμάτων είναι αντιμεταθετική.
Δες την απάντηση
Λάθος. α − β = −(β − α).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.