1.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Μάθημα 1.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διανύσματα». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Κάθετα διανύσματα με παράμετρο

Να βρείτε το λ ώστε u = (λ − 2, 3) ⊥ v = (4, −1).

Υποδείξεις

Κάθετα ⇔ u·v = 0.
x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Λύση και απάντηση

(λ − 2)·4 + 3·(−1) = 0.
4λ − 11 = 0 ⇒ λ = 114.

Απάντηση: 114

Γωνία δύο διανυσμάτων

Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων u = (1, 1) και v = (3, 0).

Υποδείξεις

συν θ = u·v|u|·|v|.

Λύση και απάντηση

συν θ = √2/2.
θ = 45°.

Απάντηση: 45 °

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Κάθετα διανύσματα με παράμετρο · Γωνία δύο διανυσμάτων · Μέτρο γραμμικού συνδυασμού · Προβολή διανύσματος.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Το εσωτερικό γινόμενο α·β ορίζεται ως:
- |α| + |β|
- |α|·|β|
- |α|·|β|·ημθ
- |α|·|β|·συνθ
Δες την απάντηση
Σωστό: |α|·|β|·συνθ. θ η γωνία των α, β.
Αν α = (x₁, y₁) και β = (x₂, y₂), τότε α·β =
- (x₁ + x₂)(y₁ + y₂)
- x₁x₂ + y₁y₂
- x₁x₂ − y₁y₂
- x₁y₂ − x₂y₁
Δες την απάντηση
Σωστό: x₁x₂ + y₁y₂. Αναλυτική έκφραση.
Δύο μη μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν:
- α = β
- α·β = 0
- α·β = 1
- α·β = |α|·|β|
Δες την απάντηση
Σωστό: α·β = 0. συν90° = 0.
Το α·α ισούται με:
- 0
- 2|α|
- |α|
- |α|²
Δες την απάντηση
Σωστό: |α|². συν0° = 1.
Αν α = (1, 2) και β = (3, −1), τότε α·β =
- 1
- 5
- 7
- −1
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. 3 − 2 = 1.
Για ποιο x τα (x, 2) και (3, −6) είναι κάθετα;
- x = 1
- x = 4
- x = −1
- x = −4
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 4. 3x − 12 = 0.
Αν |α| = 2, |β| = 3 και η γωνία τους είναι 60°, τότε α·β =
- 0
- 3
- 3√3
- 6
Δες την απάντηση
Σωστό: 3. 2·3·(1/2).
Αν α·β < 0 (α, β μη μηδενικά), η γωνία τους είναι:
- αμβλεία
- μηδενική
- οξεία
- ορθή
Δες την απάντηση
Σωστό: αμβλεία. συνθ < 0.
Η προβολή του β πάνω στο α ικανοποιεί:
- α·β = 0
- α·β = |α|²
- α·β = |β|²
- α·β = α·προβ_α(β)
Δες την απάντηση
Σωστό: α·β = α·προβ_α(β). Βασική ιδιότητα της προβολής.
Ισχύει (α + β)² =
- (α·β)²
- α² + 2α·β + β²
- α² + α·β + β²
- α² + β²
Δες την απάντηση
Σωστό: α² + 2α·β + β². Όπως η ταυτότητα, με εσωτερικό γινόμενο.

Σωστό ή Λάθος

Αν α · β = 0, τότε α = 0 ή β = 0.
Δες την απάντηση
Λάθος. Μπορεί τα α, β να είναι μη μηδενικά και κάθετα.
α · α = |α|².
Δες την απάντηση
Σωστό. Γωνία 0°, συν0° = 1.
Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι αριθμός.
Αν α · β < 0, η γωνία των α, β είναι αμβλεία.
Δες την απάντηση
Σωστό. συνθ < 0.
(α · β)² = α² · β² για κάθε α, β.
Δες την απάντηση
Λάθος. (α · β)² = |α|²|β|²συν²θ ≤ α²β². Ισότητα μόνο για παράλληλα.
Η προβολή του β πάνω στο α (α ≠ 0) είναι α · β|α|² α.
Δες την απάντηση
Σωστό. Τύπος προβολής.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου στο YouTube.