6.5 Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες συνάρτησης

Μάθημα 6.5 Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες συνάρτησης της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, στην ενότητα «Βασικές έννοιες συναρτήσεων». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες συνάρτησης

Παράμετρος ώστε η συνάρτηση να είναι περιττή

Για ποια τιμή του λ η συνάρτηση f(x) = x³ + (λ − 4)x² + 3x είναι περιττή;

Υποδείξεις

Περιττή ⇔ f(−x) = −f(x) για κάθε x.
Οι άρτιες δυνάμεις πρέπει να «φύγουν».

Λύση και απάντηση

f(−x) = −x³ + (λ − 4)x² − 3x.
Για να ισούται με −f(x) πρέπει (λ − 4) = 0 ⇒ λ = 4.

Απάντηση: 4

Ακρότατο από ανισότητα

Να αποδείξετε ότι η f(x) = 3x² − 24x + 39 έχει ελάχιστο. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της;

Υποδείξεις

Γράψε f(x) = 3(x − 4)² − 9.

Λύση και απάντηση

f(x) − −9 = 3(x − 4)² ≥ 0.
Ελάχιστη τιμή −9 για x = 4.

Απάντηση: −9

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Παράμετρος ώστε η συνάρτηση να είναι περιττή · Ακρότατο από ανισότητα.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα αν για x₁ < x₂ ισχύει:
- f(x₁) < f(x₂)
- f(x₁) = f(x₂)
- f(x₁) > f(x₂)
- f(x₁) ≤ 0
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x₁) < f(x₂). Αυξάνεται το x, αυξάνεται και η τιμή.
Μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα αν για x₁ < x₂ ισχύει:
- f(x₁) < f(x₂)
- f(x₁) = f(x₂)
- f(x₁) > f(x₂)
- f(x₁) ≥ 0
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x₁) > f(x₂). Αυξάνεται το x, μειώνεται η τιμή.
Η f(x) = −2x + 1 είναι:
- Άρτια
- Γνησίως αύξουσα
- Γνησίως φθίνουσα
- Σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: Γνησίως φθίνουσα. Κλίση αρνητική.
Η f έχει μέγιστο στο x₀ όταν:
- f(x) = x₀
- f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x
- f(x) ≥ f(x₀) για κάθε x
- f(x₀) = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x. Η μεγαλύτερη τιμή.
Η f(x) = x² έχει ελάχιστο:
- 0 στο x = 0
- 1 στο x = 1
- Δεν έχει
- −1
Δες την απάντηση
Σωστό: 0 στο x = 0. Επειδή x² ≥ 0 για κάθε x, η ελάχιστη τιμή είναι 0 στο x = 0.
Η f είναι άρτια όταν:
- f(x) = 0
- f(x) = x
- f(−x) = f(x)
- f(−x) = −f(x)
Δες την απάντηση
Σωστό: f(−x) = f(x). Συμμετρία ως προς τον y'y.
Η f είναι περιττή όταν:
- f(0) = 1
- f(x) = x²
- f(−x) = f(x)
- f(−x) = −f(x)
Δες την απάντηση
Σωστό: f(−x) = −f(x). Συμμετρία ως προς την αρχή.
Η f(x) = x² είναι:
- Άρτια
- Ούτε άρτια ούτε περιττή
- Περιττή
- Περιττή και άρτια
Δες την απάντηση
Σωστό: Άρτια. (−x)² = x².
Η f(x) = x³ είναι:
- Άρτια
- Ούτε άρτια ούτε περιττή
- Περιττή
- Σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: Περιττή. (−x)³ = −x³.
Η γραφική παράσταση περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς:
- Την y = x
- Την αρχή των αξόνων
- Τον άξονα x'x
- Τον άξονα y'y
Δες την απάντηση
Σωστό: Την αρχή των αξόνων. Κεντρική συμμετρία ως προς Ο.

Σωστό ή Λάθος

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε f(x) > 0 για κάθε x.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η f(x) = x είναι αύξουσα και παίρνει αρνητικές τιμές.
Η f(x) = x³ είναι περιττή.
Δες την απάντηση
Σωστό. f(−x) = −f(x).
Η C_f μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι συμμετρική ως προς τον y′y.
Η f(x) = x² + 1 έχει ελάχιστο 1.
Δες την απάντηση
Σωστό. x² ≥ 0.
Η f(x) = x + 1 είναι περιττή.
Δες την απάντηση
Λάθος. f(−x) = −x + 1 ≠ −f(x).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Α΄ Λυκείου στο YouTube.