9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Μάθημα 9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Μετρικές σχέσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Είδος τριγώνου ως προς τις γωνίες

Ένα τρίγωνο έχει πλευρές 13, 8, 6. Τι είδους είναι ως προς τις γωνίες του;

Αμβλυγώνιο
Οξυγώνιο
Ορθογώνιο

Υποδείξεις

Σύγκρινε το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο.

Λύση και απάντηση

Μεγαλύτερη πλευρά: 13, 13² = 169.
Άθροισμα τετραγώνων των άλλων: 100.
169 > 100 ⇒ αμβλυγώνιο.

Απάντηση: Αμβλυγώνιο

Πλευρά απέναντι από γωνία 60° ή 120°

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι β = 5, γ = 8 και Â = 60°. Να βρείτε την πλευρά α.

Υποδείξεις

α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ.
συν60° = ½.

Λύση και απάντηση

α² = 25 + 64 − 40 = 49.
α = 7.

Απάντηση: 7

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Είδος τριγώνου ως προς τις γωνίες · Πλευρά απέναντι από γωνία 60° ή 120°.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α οξεία, αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, ισχύει:
- α² = β² + γ²
- α² = β² + γ² + 2β·ΑΔ
- α² = β² + γ² − 2β·ΑΔ
- α² = β² − γ²
Δες την απάντηση
Σωστό: α² = β² + γ² − 2β·ΑΔ. Η πλευρά απέναντι από οξεία γωνία.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α αμβλεία, αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ στην ευθεία της β, ισχύει:
- α² = 2β·ΑΔ
- α² = β² + γ²
- α² = β² + γ² + 2β·ΑΔ
- α² = β² + γ² − 2β·ΑΔ
Δες την απάντηση
Σωστό: α² = β² + γ² + 2β·ΑΔ. Η πλευρά απέναντι από αμβλεία γωνία.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ, αν α² < β² + γ², τότε η γωνία Α είναι:
- ίση με 60°
- αμβλεία
- οξεία
- ορθή
Δες την απάντηση
Σωστό: οξεία. Κριτήριο είδους γωνίας.
Ένα τρίγωνο με πλευρές 4, 5, 6 είναι:
- αμβλυγώνιο
- δεν υπάρχει
- οξυγώνιο
- ορθογώνιο
Δες την απάντηση
Σωστό: οξυγώνιο. 6² = 36 < 16 + 25 = 41, άρα η μεγαλύτερη γωνία είναι οξεία.
Ένα τρίγωνο με πλευρές 2, 3, 4 είναι:
- αμβλυγώνιο
- δεν υπάρχει
- οξυγώνιο
- ορθογώνιο
Δες την απάντηση
Σωστό: αμβλυγώνιο. 4² = 16 > 4 + 9 = 13.
Ένα τρίγωνο με πλευρές 6, 8, 10 είναι:
- αμβλυγώνιο
- δεν υπάρχει
- οξυγώνιο
- ορθογώνιο
Δες την απάντηση
Σωστό: ορθογώνιο. 36 + 64 = 100.
Για να βρούμε το είδος ενός τριγώνου ως προς τις γωνίες του, συγκρίνουμε:
- τα ύψη
- τις διαμέσους
- τις περιμέτρους
- το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο
Δες την απάντηση
Σωστό: το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο. Αρκεί να εξετάσουμε τη μεγαλύτερη γωνία.
Σε τρίγωνο με β = 3, γ = 5 και Α = 60°, η πλευρά α είναι:
- 4
- 7
- √19
- √34
Δες την απάντηση
Σωστό: √19. α² = 9 + 25 − 2·3·5·(1/2) = 19.
Σε τρίγωνο με β = 1, γ = 2 και Α = 120°, η πλευρά α είναι:
- 3
- √3
- √5
- √7
Δες την απάντηση
Σωστό: √7. α² = 1 + 4 − 2·1·2·(−1/2) = 7.
Αν σε τρίγωνο ισχύει α² = β² + γ² + βγ, τότε Α =
- 120°
- 30°
- 60°
- 90°
Δες την απάντηση
Σωστό: 120°. Από τον νόμο συνημιτόνων: −2βγ·συνΑ = βγ, άρα συνΑ = −1/2.

Σωστό ή Λάθος

Αν α² > β² + γ², η γωνία Α είναι οξεία.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι αμβλεία.
Σε κάθε τρίγωνο: α² = β² + γ² − 2βγσυνΑ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Νόμος των συνημιτόνων.
Ένα τρίγωνο με πλευρές 4, 5, 6 είναι αμβλυγώνιο.
Δες την απάντηση
Λάθος. 36 < 16 + 25 = 41, άρα η μεγαλύτερη γωνία είναι οξεία: οξυγώνιο.
Ένα τρίγωνο με πλευρές 2, 3, 4 είναι αμβλυγώνιο.
Δες την απάντηση
Σωστό. 16 > 4 + 9 = 13.
Αν η γωνία Α είναι οξεία, τότε α² > β² + γ².
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει α² < β² + γ².

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.