9.2–9.3 Πυθαγόρειο θεώρημα – Γεωμετρικές κατασκευές

Μάθημα 9.2–9.3 Πυθαγόρειο θεώρημα – Γεωμετρικές κατασκευές της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Μετρικές σχέσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Πυθαγόρειο θεώρημα – Γεωμετρικές κατασκευές

Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο

Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) έχει κάθετες πλευρές 6 και 8. Βρες το ύψος ΑΔ προς την υποτείνουσα.

Υποδείξεις

ΒΓ = 10 (Πυθαγόρειο). Και ΑΔ = ΑΒ · ΑΓΒΓ (από το εμβαδόν).

Λύση και απάντηση

ΒΓ = √(6² + 8²) = 10.
ΑΔ = 6 · 810 = 245.

Απάντηση: ΑΔ = 245

Ύψος ισοσκελούς τραπεζίου

Ισοσκελές τραπέζιο έχει βάσεις 24 και 10 και ίσες μη παράλληλες πλευρές 25. Να βρείτε το ύψος και το εμβαδόν του.

Υποδείξεις

Φέρε τα ύψη από τις άκρες της μικρής βάσης: «κόβουν» από τη μεγάλη βάση δύο τμήματα (24 − 10)/2 = 7.
Πυθαγόρειο: υ² = 25² − 7².

Λύση και απάντηση

υ = √(625 − 49) = 24.
Ε = (24 + 10)/2 · 24 = 408.

Απάντηση: υ = 24 · Ε = 408

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο · Ύψος ισοσκελούς τραπεζίου · Διαγώνιος κύβου – ορθογωνίου.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90° ισχύει:
- α² + β² = γ²
- β + γ = α
- β² + γ² = α²
- βγ = α²
Δες την απάντηση
Σωστό: β² + γ² = α². Το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών.
Οι κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου είναι 6 και 8. Η υποτείνουσα είναι:
- 10
- 12
- 14
- 48
Δες την απάντηση
Σωστό: 10. √(36 + 64) = 10.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) με ύψος ΑΔ ισχύει:
- ΑΒ² = ΑΔ·ΒΓ
- ΑΒ² = ΒΓ·ΒΔ
- ΑΒ² = ΒΓ·ΔΓ
- ΑΒ² = ΒΔ·ΔΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΑΒ² = ΒΓ·ΒΔ. Το τετράγωνο κάθετης πλευράς ισούται με την υποτείνουσα επί την προβολή της.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) με ύψος ΑΔ ισχύει:
- ΑΔ = ΒΔ + ΔΓ
- ΑΔ² = ΑΒ·ΑΓ
- ΑΔ² = ΒΓ·ΒΔ
- ΑΔ² = ΒΔ·ΔΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΑΔ² = ΒΔ·ΔΓ. Το ύψος είναι μέση ανάλογη των προβολών.
Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο οι προβολές των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα είναι 4 και 9, το ύψος ΑΔ είναι:
- 13
- 36
- 5
- 6
Δες την απάντηση
Σωστό: 6. ΑΔ² = 4·9 = 36.
Ένα τρίγωνο με πλευρές 5, 12, 13 είναι:
- αμβλυγώνιο
- ισοσκελές
- οξυγώνιο
- ορθογώνιο
Δες την απάντηση
Σωστό: ορθογώνιο. 25 + 144 = 169 = 13² (αντίστροφο Πυθαγορείου).
Η διαγώνιος τετραγώνου πλευράς α είναι:
- 2α
- α/2
- α√2
- α√3
Δες την απάντηση
Σωστό: α√2. δ² = α² + α² = 2α².
Το ύψος ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α είναι:
- α/2
- α√2
- α√3
- α√3/2
Δες την απάντηση
Σωστό: α√3/2. υ² = α² − (α/2)² = 3α²/4.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) με ύψος ΑΔ ισχύει επίσης:
- ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ + ΑΔ
- ΑΒ·ΑΓ = ΑΔ²
- ΑΒ·ΑΓ = ΒΓ·ΑΔ
- ΑΒ·ΒΓ = ΑΓ·ΑΔ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΑΒ·ΑΓ = ΒΓ·ΑΔ. Και τα δύο γινόμενα είναι το διπλάσιο εμβαδόν του τριγώνου.
Με κανόνα και διαβήτη, τμήμα μήκους √2 (με μονάδα 1) κατασκευάζεται ως:
- η ακτίνα κύκλου διαμέτρου 1
- η διαγώνιος τετραγώνου πλευράς 1
- το μισό τμήματος μήκους 2
- το ύψος ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 1
Δες την απάντηση
Σωστό: η διαγώνιος τετραγώνου πλευράς 1. √(1² + 1²) = √2.

Σωστό ή Λάθος

Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει α² = β² + γ², η ορθή γωνία είναι η Β.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η ορθή γωνία είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά α, δηλαδή η Α.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της.
Δες την απάντηση
Σωστό. β² = α · ΓΔ.
Το ύψος προς την υποτείνουσα είναι υ = β + γα.
Δες την απάντηση
Λάθος. υ = βγα.
Με το Πυθαγόρειο κατασκευάζουμε τμήμα μήκους √2 από τμήμα μήκους 1.
Δες την απάντηση
Σωστό. Η διαγώνιος του μοναδιαίου τετραγώνου.
Αν υ² = ΒΔ · ΔΓ για το ύψος ΑΔ, το τρίγωνο μπορεί να είναι αμβλυγώνιο.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η σχέση χαρακτηρίζει το ορθογώνιο τρίγωνο (Α = 90°).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.