9.5 Θεωρήματα διαμέσων

Μάθημα 9.5 Θεωρήματα διαμέσων της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Μετρικές σχέσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Θεωρήματα διαμέσων

Θεώρημα διαμέσων

Τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές α = 14, β = 13, γ = 11. Βρες το μήκος της διαμέσου μ_α (από την κορυφή Α).

Υποδείξεις

1ο θεώρημα διαμέσων: β² + γ² = 2μ_α² + α²2, δηλαδή μ_α² = 2β² + 2γ² − α²4.

Λύση και απάντηση

μ_α² = 2·169 + 2·121 − 1964 = 3844 = 96.
μ_α = √96 = 4√6.

Απάντηση: μ_α = 4√6

Πλευρά από διάμεσο

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 5, ΑΓ = 3 και η διάμεσος ΑΜ = √13. Να βρείτε την πλευρά ΒΓ.

Υποδείξεις

1ο θεώρημα διαμέσων: β² + γ² = 2μ_α² + α²/2.

Λύση και απάντηση

9 + 25 = 2·13 + α²/2.
α²/2 = 8 ⇒ α = 4.

Απάντηση: 4

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Θεώρημα διαμέσων · Πλευρά από διάμεσο.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Το 1ο θεώρημα διαμέσων δίνει:
- β + γ = 2μα
- β² + γ² = 2μα² + α²
- β² + γ² = 2μα² + α²/2
- β² + γ² = μα² + α²
Δες την απάντηση
Σωστό: β² + γ² = 2μα² + α²/2. μα είναι η διάμεσος προς την πλευρά α.
Η διάμεσος προς την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ισούται με:
- α√2
- την υποτείνουσα
- το 1/3 της υποτείνουσας
- το μισό της υποτείνουσας
Δες την απάντηση
Σωστό: το μισό της υποτείνουσας. Το μέσο της υποτείνουσας είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.
Σε τρίγωνο με β = γ = 5 και α = 6, η διάμεσος μα είναι:
- 3
- 4
- 5
- √34
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. 25 + 25 = 2μα² + 18, άρα μα² = 16.
Από το 1ο θεώρημα διαμέσων προκύπτει:
- μα² = (2β² + 2γ² + α²)/4
- μα² = (2β² + 2γ² − α²)/4
- μα² = (β² + γ² − α²)/2
- μα² = β² + γ² − α²
Δες την απάντηση
Σωστό: μα² = (2β² + 2γ² − α²)/4. Λύνοντας ως προς μα².
Σε τρίγωνο με β = 4, γ = 6 και α = 6, η διάμεσος μα είναι:
- 17
- 5
- √17
- √34
Δες την απάντηση
Σωστό: √17. μα² = (32 + 72 − 36)/4 = 68/4 = 17.
Σε τρίγωνο με β = γ, η διάμεσος μα είναι επίσης:
- ίση με α
- ίση με β
- παράλληλη στη ΒΓ
- ύψος και διχοτόμος
Δες την απάντηση
Σωστό: ύψος και διχοτόμος. Σε ισοσκελές η διάμεσος προς τη βάση είναι και ύψος και διχοτόμος.
Σε κάθε παραλληλόγραμμο, το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του ισούται με:
- το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων
- το γινόμενο των διαγωνίων
- το διπλάσιο του αθροίσματος των τετραγώνων των διαγωνίων
- το μισό του αθροίσματος των τετραγώνων των διαγωνίων
Δες την απάντηση
Σωστό: το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων. Προκύπτει από το 1ο θεώρημα διαμέσων.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο με Α = 90° και ΒΓ = 10, η διάμεσος μα είναι:
- 10
- 2,5
- 5
- 5√2
Δες την απάντηση
Σωστό: 5. μα = ΒΓ/2.
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ η διάμεσος μα ισούται με α/2, τότε:
- Α = 120°
- Α = 45°
- Α = 60°
- Α = 90°
Δες την απάντηση
Σωστό: Α = 90°. Τότε το Α βρίσκεται στον κύκλο με διάμετρο ΒΓ.
Το 2ο θεώρημα διαμέσων (με β > γ και ΜΔ την προβολή της διαμέσου ΑΜ στη ΒΓ) δίνει:
- β − γ = 2ΜΔ
- β² + γ² = 2α·ΜΔ
- β² − γ² = 2α·ΜΔ
- β² − γ² = α·ΜΔ
Δες την απάντηση
Σωστό: β² − γ² = 2α·ΜΔ. Συνδέει τη διαφορά τετραγώνων με την προβολή της διαμέσου.

Σωστό ή Λάθος

Η διάμεσος μ_α δίνεται από μ_α² = β² + γ²2.
Δες την απάντηση
Λάθος. μ_α² = 2β² + 2γ² − α²4.
Σε παραλληλόγραμμο, το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών.
Δες την απάντηση
Σωστό. Συνέπεια του 1ου θεωρήματος διαμέσων.
Αν β = γ, τότε μ_α = α2.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει μόνο αν επιπλέον Α = 90°. Γενικά μ_α = √(β² − α²4).
Το 2ο θεώρημα διαμέσων: β² − γ² = 2α · ΜΔ, όπου ΜΔ η προβολή της διαμέσου στη ΒΓ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Γνωστό θεώρημα.
Η διάμεσος προς την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ισούται με την υποτείνουσα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισούται με το μισό της.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.