MathGreeceMathGreece

9.6 Βασικοί γεωμετρικοί τόποι

Μάθημα 9.6 Βασικοί γεωμετρικοί τόποι της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Μετρικές σχέσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 4 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Βασικοί γεωμετρικοί τόποι

Τόπος με MA² + MB² = σταθερό

Δίνεται τμήμα ΑΒ = 4. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ με ΜΑ² + ΜΒ² = 40 είναι κύκλος με κέντρο το μέσο Ο του ΑΒ. Να βρείτε την ακτίνα του.
Υποδείξεις
  • Από το 1ο θεώρημα διαμέσων στο ΜΑΒ: ΜΑ² + ΜΒ² = 2ΜΟ² + ΑΒ²/2.
Λύση και απάντηση
  1. 40 = 2ΜΟ² + 8 ⇒ ΜΟ² = 16.
  2. Ακτίνα: 4.

Απάντηση: 4

Τόπος με MA² − MB² = σταθερό

Δίνεται τμήμα ΑΒ = 10 με μέσο Ο. Τα σημεία Μ με ΜΑ² − ΜΒ² = 20 βρίσκονται σε ευθεία κάθετη στην ΑΒ. Σε ποια απόσταση από το Ο τέμνει αυτή η ευθεία την ΑΒ;
Υποδείξεις
  • 2ο θεώρημα διαμέσων: ΜΑ² − ΜΒ² = 2·ΑΒ·ΟΚ, όπου Κ η προβολή του Μ στην ΑΒ.
Λύση και απάντηση
  1. 20 = 2·10·ΟΚ ⇒ |ΟΚ| = 1.

Απάντηση: 1

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Τόπος με MA² + MB² = σταθερό · Τόπος με MA² − MB² = σταθερό.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα Α και Β είναι:

    • η ευθεία ΑΒ
    • η μεσοκάθετος του ΑΒ
    • κύκλος με διάμετρο ΑΒ
    • το μέσο του ΑΒ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: η μεσοκάθετος του ΑΒ. Ορισμός της μεσοκαθέτου.

  2. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές μιας γωνίας είναι:

    • η διχοτόμος της γωνίας
    • η κάθετη στην κορυφή
    • κύκλος
    • μια πλευρά της γωνίας
    Δες την απάντηση

    Σωστό: η διχοτόμος της γωνίας. Βασική ιδιότητα της διχοτόμου.

  3. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν απόσταση ρ από σταθερό σημείο Ο είναι:

    • ευθεία
    • ο κύκλος (Ο, ρ)
    • τετράγωνο
    • το σημείο Ο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ο κύκλος (Ο, ρ). Ορισμός του κύκλου.

  4. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ με ΜΑ² + ΜΒ² = k² (σταθερό, αρκετά μεγάλο) είναι:

    • η ευθεία ΑΒ
    • η μεσοκάθετος του ΑΒ
    • κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ
    • παραβολή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ. Από το 1ο θεώρημα διαμέσων, η ΜΟ (Ο μέσο του ΑΒ) είναι σταθερή.

  5. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ με ΜΑ² − ΜΒ² = k² (σταθερό) είναι:

    • ευθεία κάθετη στην ΑΒ
    • η μεσοκάθετος πάντα
    • κύκλος
    • παραβολή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ευθεία κάθετη στην ΑΒ. Από το 2ο θεώρημα διαμέσων, η προβολή του Μ στην ΑΒ είναι σταθερό σημείο.

  6. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων από τα οποία το ΑΒ φαίνεται υπό ορθή γωνία είναι:

    • ένα τόξο 60°
    • η ευθεία ΑΒ
    • η μεσοκάθετος του ΑΒ
    • ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ (χωρίς τα Α, Β)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ (χωρίς τα Α, Β). Η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

  7. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν απόσταση d > 0 από μια ευθεία ε είναι:

    • δύο ευθείες παράλληλες στην ε
    • η ευθεία ε
    • κύκλος
    • μία ευθεία παράλληλη στην ε
    Δες την απάντηση

    Σωστό: δύο ευθείες παράλληλες στην ε. Μία από κάθε πλευρά της ε.

  8. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ με ΜΑ/ΜΒ = λ, λ ≠ 1, είναι:

    • η ευθεία ΑΒ
    • η μεσοκάθετος του ΑΒ
    • ο κύκλος του Απολλωνίου
    • υπερβολή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ο κύκλος του Απολλωνίου. Βλέπε 7.9.

  9. Ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από δύο σημεία Α, Β είναι:

    • η ευθεία ΑΒ
    • η μεσοκάθετος του ΑΒ
    • κύκλος με διάμετρο ΑΒ
    • το μέσο του ΑΒ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: η μεσοκάθετος του ΑΒ. Το κέντρο ισαπέχει από τα Α και Β.

  10. Ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών ενός κύκλου που έχουν το ίδιο μήκος είναι:

    • ευθεία
    • μια διάμετρος
    • ομόκεντρος κύκλος
    • το κέντρο του κύκλου
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ομόκεντρος κύκλος. Το μέσο κάθε τέτοιας χορδής απέχει σταθερή απόσταση από το κέντρο.

Σωστό ή Λάθος

  1. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δύο σημεία είναι κύκλος.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι η μεσοκάθετος του τμήματος.

  2. Ο γ.τ. των σημείων Μ με ΜΑ2 + ΜΒ2 = σταθερό (κατάλληλο) είναι κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Από το θεώρημα διαμέσων.

  3. Ο γ.τ. των σημείων Μ με ΜΑ2 − ΜΒ2 = κ είναι κύκλος.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι ευθεία κάθετη στο ΑΒ.

  4. Ο γ.τ. των σημείων από τα οποία ένα τμήμα ΑΒ φαίνεται υπό ορθή γωνία είναι ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ (χωρίς τα Α, Β).

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Μετρικές σχέσεις»