9.7 Τέμνουσες κύκλου – Δύναμη σημείου

Μάθημα 9.7 Τέμνουσες κύκλου – Δύναμη σημείου της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Μετρικές σχέσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Τέμνουσες κύκλου – Δύναμη σημείου

Τέμνουσες και εφαπτόμενα τμήματα (δύναμη σημείου)

Από σημείο Ρ έξω από κύκλο φέρνουμε δύο τέμνουσες ΡΑΒ και ΡΓΔ. Αν ΡΑ = 5, ΡΒ = 7 και ΡΓ = 1, βρες το ΡΔ.

Υποδείξεις

ΡΑ · ΡΒ = ΡΓ · ΡΔ (δύναμη του σημείου Ρ).

Λύση και απάντηση

5 · 7 = 1 · ΡΔ ⇒ ΡΔ = 351 = 35.

Απάντηση: 35

Δύναμη σημείου ως προς κύκλο

Κύκλος (Ο, 3) και σημείο Ρ με ΟΡ = 15. Να βρείτε τη δύναμη Δ του Ρ ως προς τον κύκλο και το μήκος του εφαπτόμενου τμήματος από το Ρ.

Υποδείξεις

Δ = ΟΡ² − ρ².
Εφαπτόμενο τμήμα: ΡΤ² = Δ.

Λύση και απάντηση

Δ = 225 − 9 = 216.
ΡΤ = √216 = 6√6.

Απάντηση: Δ = 216 · εφαπτ. = 6√6

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Τέμνουσες και εφαπτόμενα τμήματα (δύναμη σημείου) · Δύναμη σημείου ως προς κύκλο.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Αν δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου τέμνονται στο Ρ, τότε:
- ΡΑ + ΡΒ = ΡΓ + ΡΔ
- ΡΑ/ΡΒ = ΡΓ/ΡΔ
- ΡΑ·ΡΒ = ΡΓ·ΡΔ
- ΡΑ·ΡΓ = ΡΒ·ΡΔ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΡΑ·ΡΒ = ΡΓ·ΡΔ. Θεώρημα τεμνόμενων χορδών.
Από εξωτερικό σημείο Ρ φέρνουμε εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και τέμνουσα ΡΑΒ. Τότε:
- ΡΕ = ΡΑ + ΡΒ
- ΡΕ = ΡΑ·ΡΒ
- ΡΕ² = ΡΑ² + ΡΒ²
- ΡΕ² = ΡΑ·ΡΒ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΡΕ² = ΡΑ·ΡΒ. Το εφαπτόμενο τμήμα είναι μέση ανάλογη.
Η δύναμη ενός σημείου Ρ ως προς κύκλο (Ο, R) είναι:
- R² − ΡΟ²
- ΡΟ − R
- ΡΟ² + R²
- ΡΟ² − R²
Δες την απάντηση
Σωστό: ΡΟ² − R². Συμβολίζεται Δ(Ρ).
Αν η δύναμη του Ρ ως προς έναν κύκλο είναι αρνητική, το Ρ είναι:
- εξωτερικό σημείο
- εσωτερικό σημείο του κύκλου
- πάντα το κέντρο
- σημείο του κύκλου
Δες την απάντηση
Σωστό: εσωτερικό σημείο του κύκλου. ΡΟ < R.
Αν η δύναμη του Ρ ως προς έναν κύκλο είναι μηδέν, το Ρ:
- ανήκει στον κύκλο
- είναι εξωτερικό
- είναι εσωτερικό
- είναι το κέντρο
Δες την απάντηση
Σωστό: ανήκει στον κύκλο. ΡΟ = R.
Αν ΡΟ = 5 και R = 3, η δύναμη του Ρ είναι:
- 16
- 2
- 34
- 4
Δες την απάντηση
Σωστό: 16. 25 − 9 = 16.
Αν ΡΟ = 5 και R = 3, το εφαπτόμενο τμήμα από το Ρ είναι:
- 2
- 4
- 8
- √34
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. ΡΕ² = ΡΟ² − R² = 16.
Δύο χορδές τέμνονται στο Ρ με ΡΑ = 2, ΡΒ = 6, ΡΓ = 3. Τότε ΡΔ =
- 1
- 4
- 5
- 9
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. 2·6 = 3·ΡΔ.
Από εξωτερικό σημείο Ρ, τέμνουσα δίνει ΡΑ = 4 και ΡΒ = 9. Το εφαπτόμενο τμήμα από το Ρ είναι:
- 13
- 36
- 5
- 6
Δες την απάντηση
Σωστό: 6. ΡΕ² = 4·9 = 36.
Η δύναμη του κέντρου Ο ως προς τον κύκλο (Ο, R) είναι:
- 0
- R
- R²
- −R²
Δες την απάντηση
Σωστό: −R². ΟΟ² − R² = −R².

Σωστό ή Λάθος

Η δύναμη ενός σημείου που βρίσκεται μέσα στον κύκλο είναι θετική.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι αρνητική: Δ = ΟΡ² − R² < 0.
Αν δύο χορδές ΑΒ, ΓΔ τέμνονται στο Ρ, τότε ΡΑ · ΡΒ = ΡΓ · ΡΔ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Θεώρημα τεμνουσών χορδών.
Το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ από εξωτερικό σημείο ισούται με ΡΑ + ΡΒ για τέμνουσα ΡΑΒ.
Δες την απάντηση
Λάθος. ΡΕ² = ΡΑ · ΡΒ.
Η δύναμη ενός σημείου πάνω στον κύκλο είναι 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. ΟΡ = R.
Δύο εφαπτόμενα τμήματα από το ίδιο εξωτερικό σημείο έχουν διαφορετικά μήκη.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι ίσα.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.